НОА 2017, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2. Юнона и Юпитер

• А) Да – ако петното е достатъчно близо до планетния меридиан, над който станцията прелита, камерата ще може да фотографира поне малка част от него.

  Планетографската ширина на северния край на петното е $\varphi \approx 18.25^\circ$, а хоризонтът на станцията в перийовия достига до $\varphi_1 \approx 19.37^\circ$, т.е. $\varphi_1 > \varphi$. Крайният числен отговор зависи от качеството на копието и от избраните величини за радиуса на Юпитер.

• Б) Центърът на вихъра ще бъде извън обсега на хоризонта на станцията ($\varphi_2 \approx 15.26^\circ < \theta \approx 15.84^\circ$), но при достатъчно голям размер на вихъра станцията ще може да фотографира част от него, намираща се в източния му край.

  $T \approx 925355$ s $\approx 10.71$ денонощия; $P \approx 35651$ s $\approx 9.9$ часа; $T/P \approx 25.956$; $\theta \approx 15.84^\circ$.

Решение:

Измерваме върху снимката диаметъра на Юпитер от северния до южния полюс, който се оказва $d_p = 140.5\ \mathrm{mm}$. Измерваме разстоянието от екватора на Юпитер до горния, или северния край на Голямото червено петно: $x = 22\ \mathrm{mm}$. Наистина, поради бързото си околоосно въртене и газовия си състав, Юпитер има по-голяма сплеснатост към полюсите си, отколкото Земята например, но сега ще пренебрегнем това и ще считаме, че полярното сечение с равнина, минаваща през центъра на Юпитер, представлява кръг с радиус, равен на полярния радиус $R_p$ на планетата.

На схемата е представено такова полярно сечение. Нека приемем, че с точка A е означен северният край на Голямото червено петно, с φ – планетографската ширина на тази точка. В сила са съотношенията:

Оттук намираме:

Ако се отчете изпъкналостта на Юпитер по екватора, ще се получи друга стойност на планетографската ширина на точката A. Това би било по-сложно математически, но от общи геометрични съображения може да се установи, че ширината на точката ще се окаже по-малка от получената по-горе стойност. Оценката на ширината, която сме направили, като използваме полярния радиус на Юпитер, е максимално возможната. Тъй като в задачата се иска само да се прецени дали въпросната точка влиза в обсега на видимия хоризонт на станцията, то тази максимална стойност може да се използва за сравнение.

На следващата схема е дадена малка част от орбитата на Juno около нейния перийовий P, който се намира над екватора на Юпитер. В посока юг хоризонтът на станцията се простира до точка D. Да намерим нейната планетографска ширина.

За триъгълнита DOP можем да напишем:

където $R_0$ е средният радиус на Юпитер, $r_p$ е разстоянието от космическата станция до центъра на Юпитер в перийовий, а $\varphi_1$ е ъгълът DOP, или планетографската ширина на точка D. По-нататък пресмятаме:

Оттук следва, че $\varphi_1 > \varphi$ . Това означава, че ако в момента, когато космическата станция минава през перийовия на своята орбита, Голямото червено петно се окаже достатъчно близо до планетния меридиан, над който тя прелита, то камерата на станцията ще може да фотографира поне малка част от него.

На следващата схема е дадена орбитата на Juno около Юпитер. С $r_a$ е означено разстоянието до центъра на Юпитер в апойовий. По условие $r_a = 39R_0$ .

Да намерим голямата полуос на орбитата на Juno:

Означаваме с $M$ масата на Юпитер, с $\gamma$ гравитационната константа и използваме третия закон на Кеплер, за да определим орбиталния период $T$ на станцията:

Нека в даден момент станцията преминава през перийовия на своята орбита и точно под нея се намира малък атмосферен вихър на Юпитер. Да определим къде ще бъде същият този вихър при следващо преминаване на станцията през перийовия. Означаваме с $R_e$ екваториалния радиус на Юпитер и с $v$ скоростта на точка от екватора на планетата. Периодът на околоосно завъртане на точка от екватора на Юпитер ще бъде:

Пресмятаме отношението на орбиталния период на станцията към периода на околоосно въртене на точка от екватора:

Следователно до следващото преминаване на станцията през перийовия на нейната орбита, атмосферният вихър ще се е завъртял около оста на Юпитер 25.956 пъти. За да се окаже отново в предишното си положение под точката на перийовия на станцията, той ще трябва да се дозавърти на ъгъл $\theta$, за който можем да напишем:

Далечината на хоризонта на станцията в точката на перийовия по екватора на Юпитер ще бъде различна от тази, която определихме по-горе чрез ъгъла φ₁. Можем да я намерим от равенството:

Оказва се, че ъгълът φ₂ е малко по-малък от θ. Оттук следва, че при следващото преминаване през перийовия на станцията Juno, центрът на атмосферния вихър ще бъде извън обсега на нейния хоризонт, но ако вихърът има достатъчно голям размер, станцията ще може да фотографира част от него, намираща се в източния му край.

Част от задачата може да се реши и графично. Построява се в съответния мащаб отстрани на планетата Юпитер точка над екватора, където може да се намира Юнона. Построяват се две допирателни от тази точка към планетата. Допирните точки определят докъде се простира хоризонтът за станцията по планетографска ширина. През горната граница на Голямото червено петно се построява отсечка, пресичаща Юпитер и успоредна на неговия екватор – това е паралелът, до който се простира в северна посока петното. Оттук веднага може да се види дали и доколко Голямото червено петно е в границите на хоризонта на видимост на станцията.

В зависимост от качеството на копирането на изображението, използвания метод и избора на величини за радиуса на Юпитер по различни съображения, крайният отговор на подусловие А) може да се окаже различен. При оценяването се взимат под внимание разсъжденията и начините на решаване, а не толкова числените резултати.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За определяне на далечината на хоризонта на станцията – 2 т.
За измервания върху фотографията на Юпитер – 1 т.
За правилен метод за пресмятане на планетографската ширина на подходяща точка от Голямото червено петно – 2 т.
За верен извод за видимостта на петното от станцията – 1 т.
За определяне на орбиталния период на станцията – 2 т.
За определяне на позицията на вихъра при второто преминаване на станцията през перийовия – 2 т.
За правилен отговор дали ще може да се фотографира вихърът – 2 т.