НОА 2017, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Двойна звезда

• А) $L_A \approx 54.3\,L_S,\qquad L_B \approx 25.4\,L_S$

  $L = (R/R_S)^2 (T/T_S)^4 L_S$.

• Б) $\Delta m_{\min I} \approx 1^m\!.24,\qquad \Delta m_{\min II} \approx 0^m\!.12$

  $L_{\max}=79.6\,L_S$, $L_{\min I}=L_B\approx 25.4\,L_S$, $L_{\min II}=71.35\,L_S$.

• В) Кривите се пресичат в моментите на централните затъмнения: 1 – главен минимум (A зад B), 2 – вторичен минимум (A пред B); 3 и 4 – екстремумите на лъчевите скорости, когато двете звезди са на еднакво разстояние от наблюдателя.

• Г) Дълбоки плоскодънни главни минимуми с амплитуда $1^m\!.24$ и плитки вторични минимуми с амплитуда $0^m\!.12$, с еднаква продължителност; отношението на частичната към пълната фаза е 4:3.

Решение:

От закона на Стефан-Болцман, написан за всяка от звездите и Слънцето, следва:

В максимум на блясъка светлина идва от двете звезди на двойната система, т.е. общата светимост е сума от светимостите на двете звезди. Следователно:

В главния минимум по-голямата, но по-студена звезда B закрива звездата A изцяло. Светлина идва само от втората компонента:

От формулата на Погсън определяме амплитудата на главния минимум в звездни величини:

Във вторичния минимум по-малката, но по-гореща звезда A застава пред звездата B, като закрива част от диска на по-голямата компонента. Светлина идва от звездата A и от площта на звездата B, която не е покрита от звездата A. Светимостта е:

Амплитудата на вторичния минимум е:

При тези разсъждения пренебрегваме потъмняването към края на диска на звезда B.

При анализа на лъчевите скорости на една двойна система общата лъчева скорост на системата, т.е. лъчевата скорост на центъра на масите на компонентите, не представлява интерес. Затова лъчевите скорости на компонентите обикновено са коригирани и остават тези стойности, които те биха имали, ако лъчевата скорост на центъра на масите би била нула. Нека за улеснение на анализа, да предположим, че кривата на лъчевите скорости е точно такава. Понеже компонентите на двойната звезда се движат в противоположни посоки, лъчевите скорости се изравняват само когато и двете компоненти на системата се движат перпендикулярно на зрителния лъч. Тогава всъщност лъчевите им скорости са равни на нула. Следователно във всички точки, в които кривите се пресичат, лъчевите скорости са нула. В тези моменти двете звезди се намират една зад друга, точно на зрителния лъч и стават затъмненията между тях. По-точно тогава са централните моменти на затъмненията.

Кривите са синусоидални и следователно движението на звездите става по кръгови орбити. Виждаме, че кривата на звездата A е с по-малка амплитуда. Следователно звездата A е по-масивната компонента. Когато тя се затъмнява от по-голямата по диаметър, но по слаба по блясък компонента B, тя се намира точно зад нея и сменя отдалечаването от наблюдателя с приближаване към него. Това означава, че преди затъмнението лъчевата скорост на звездата е била положителна, постепенно е намалявала, в момента на затъмнението става равна на нула, а веднага след това става отрицателна и расте по абсолютна стойност. Това се наблюдава в моментите означени на кривата с цифрата 1. Положението на двете компоненти е показано на по-долната фигура в позиция 1. Тогава настъпва първичният, по-дълбок минимум на затъмнително двойната звезда. За определеност приемаме, че наблюдаваме системата от точка, в която звездите се движат по орбитите си в посока обратна на часовниковата стрелка.

Вторичният минимум настъпва, когато системата е в положение 2. Отново лъчевата скорост на двете компоненти е нула, но те са с разменени позиции по отношение на наблюдателя. Тези моменти са означени на кривата на лъчевите скорости с цифрата 2 (Виж приложението).

Моментът, когато компонентата B има най-голяма положителна стойност на лъчевата скорост, а компонентата A най-голяма, по абсолютна стойност, но отрицателна по знак стойност на лъчевата скорост, е показан в положение 3. Тогава звездата A се приближава най-бързо към наблюдателя, а звездата B се отдалечава най-бързо от него. Двете звезди са на еднакво разстояние от нас и направлението на скоростите им е по лъча на зрение. Тези моменти са означени на кривата на лъчевите скорости с цифрата 3. Обратната ситуация е означена на фигурите с цифрата 4.

Звездата A е съществено по малка от звездата B. Следователно при преминаване зад звездата B, тя за известно време ще остава изцяло скрита. Тогава блясъкът на системата няма да се променя и ние ще наблюдаваме “плосък” минимум. При вторичния минимум се наблюдава същото, но тогава звездата A преминава пред звездата B и понижаването на блясъка е по-слабо.

Ние не знаем каква е продължи-телността на затъмнението на едната компонента от другата. Но от размерите на звездите може да намерим съотношението между продължителността на частич-ното затъмнение към продължи-телността на пълното затъмнение. Виждаме, че диаметрите на звездите се отнасят както 4 към 7. Частичната фаза продължава докато звездата A изцяло се скрие зад звездата B, т.е. докато тя измине своя диаметър 2R$_A$=6.4 слънчеви радиуса. Пълната фаза продължава, докато звездата A измине разликата между диаметъра на звездата B и своя диаметър. Тази разлика е равна на 2(R$_A$ – R$_B$) = 4.8 сл. радиуса. Лесно се съобразява, че отноше-нието между тези величини е както 4:3. Следователно продъл-жителността на частичното ще се отнася към продължителността на пълното затъмнение както 4:3.

Понеже не знаем каква е продължителността на затъмнението, ние избираме такава продължителност, която ни позволява да изобразим достатъчно добре формата на минимумите на звездата. Приемаме, че продъжителността на затъмнението е 4 квадратчета от разграфеното поле на листа. Продължителността на главния и на вторичния минимуми е еднаква, поради еднаквата геометрия и кинематика на явлението, но дълбочината на минимумите е различна и трябва да бъде съобразена с пресметнатите амплитуди на първичния и вторичния минимум. Избираме мащаб по ординатната ос такъв, че една звездна величина да се изобразява в продължение на 20 квадратчета. Построяваме минимумите точно над местата им, отбелязани на кривата на лъчевите скорости (Виж приложението).

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилно пресмятане на светимостите на звездите – 2 т.
За правилно пресмятане на амплитудите на минимумите – 4 т.
За правилни схеми на двойната звезда в характерните моменти – 2 т.
За определяне на съотношението в продължителностите между частичното и пълното затъмнение – 1 т.
За правилно построена крива на блясъка – 3 т.