НОА 2017, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Ефект на Доплер

• А) Лъчевата скорост измества линиите: $\Delta\lambda/\lambda_0 = v/c$ (към синьото при приближаване, към червеното при отдалечаване), а при скорости, сравними със $c$, $\Delta\lambda/\lambda_0 = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)} - 1$. Въртенето на звездата около оста ѝ не измества, а разширява линиите: $\Delta\lambda = 2V_r\sin i\cdot\lambda_0/c$. Топлинното движение на атомите също разширява линиите с $\Delta\lambda = (2\lambda_0/c)\sqrt{3kT/m}$, при което по-леките атоми дават по-широки линии, а профилът е близък до гаусиан. Динамичните процеси (например конвекцията/гранулацията при Слънцето) допълнително разширяват или деформират линиите.

• Б) Топлинно разширение: за Регул $\Delta\lambda_{H\alpha} = 0.77$ Å и $\Delta\lambda_{HeI} = 0.26$ Å; за Слънцето $\Delta\lambda_{H\alpha} = 0.52$ Å и $\Delta\lambda_{HeI} = 0.175$ Å. Изместване от лъчевата скорост на Регул ($V_r = +6$ km/s, към червено): $\Delta\lambda_{H\alpha} = 0.13$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.088$ Å. Изместване от движението на Слънцето около центъра на масите със Юпитер ($V_S = 12.47$ m/s): $\Delta\lambda_{H\alpha} = 0.00027$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.00018$ Å. Разширение от осевото въртене: за Регул ($V_{eR} = 317$ km/s) $\Delta\lambda_{H\alpha} = 13.87$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 9.27$ Å; за Слънцето ($V = 2.02$ km/s) $\Delta\lambda_{H\alpha} = 0.044$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.030$ Å. От гранулацията ($v = 400$ m/s): $\Delta\lambda_{H\alpha} = 0.00875$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.00585$ Å.

  Лъчевата скорост на Слънцето в таблицата е отбелязана с „?“ — тя се дължи на движението му около общия център на масите с Юпитер.

Ефектът на Доплер се наблюдава, когато източникът на електромагнитното излъчване се движи относно отправната система, свързана с наблюдателя така, че радиалната компонента на преместването му да е различна от нула. (Това е вярно за източници, които се движат със скорост съществено по-малка от скоростта на светлината. Когато скоростта е сравнима със скоростта на светлината, се проявява т.нар. напречен ефект на Доплер.) Тогава дължината на вълната, която приемникът регистрира, се оказва различна от дължината на вълната на излъчената светлина. (Ние ще коментираме ефекта на Доплер във видимата област на спектъра, в която работят повечето телескопи.)

Когато скоростта на източника е съществено по-малка от скоростта на светлината, формулата на Доплер приема вида:

Тук $\lambda$ е наблюдаваната дължина на вълната, $\lambda_0$ е дължината на вълната на излъчената светлина, $v$ е радиалната компонента на скоростта на източника относно приемника и $c$ е скоростта на светлината.

Когато скоростта на източника е сравнима със скоростта на светлината, формулата се записва в следния вид:

Ако звездата се приближава към нас, дължината на вълната намалява. Тогава $\lambda$ е по-малко от $\lambda_0$ и следователно $\Delta\lambda$ е отрицателно. Ако наблюдаваме спектрална линия, то тя се премества към синята част на спектъра. Когато звездата се отдалечава, дължината на вълната нараства и линията се премества към червения край на спектъра. Тогава говорим за “червено преместване”. Големината на преместването е свързата със скоростта на движение на звездата по-направление на зрителния лъч посредством формулата на Доплер. По този начин може да се пресметне с голяма точност радиалната компонента на скоростта на обектите относно наблюдателя. От формулата виждаме, че освен от големината на радиалната скорост, преместването на спектралната линия зависи и от дължината на вълната $\lambda_0$. Една и съща скорост довежда до различно преместване на спектралните линии в различни части на спектъра.

Изследването на преместването на спектралните линии се прави при изследване на въртенето на Слънцето и планетите от Слънчевата система, движението на отделни обеми газ и плазма в атмосферата на Слънцето, хаотичните движения на звездите в околността на Слънцето, насоченото движение на звездите в Галактиката, движението на двойните звезди около общия център на масите, бързото движение на звезди изхвърлени с голяма скорост от кратни или двойни системи, движението на облаци газ в Галактиката, движението на галактиките от местната група галактики, въртенето на галактиките, движението на галактиките при космологическото разширение на Вселената или в куповете от галактики под влияние на т.нар. “тъмна материя”. Тези наблюдения помагат да се определят някои важни характеристики на наблюдаваните обекти.

При обикновенните движения в пространството лъчевата скорост ни дава проекцията на пространствента скорост на звездата върху лъча на зрение.

При въртене около оста на планети или галактики, лъчевата скорост ни дава компонентата на линейната скорост на въртене около оста относно лъча на зрение.

Тогава връзката между максимума на лъчевата скорост и скоростта на движение по орбита, при двойни звезди е :

където $i$ е наклона на орбитата относно картинната равнина за наблюдателя.

Подобна е връзката между екваториалната скорост на въртене една планета и лъчевите скорости, определени по спектъра на планетата, когато процепът е ориентиран перпендикулярно на оста на планетата.

Съвсем съща е и връзката при изучаване на кривите на въртене на галактиките. Само познавайки ъгъла на наклона можем да определим истинските линейни скорости на въртене.

Когато, обаче, става дума за въртене на звезди около оста им ситуацията е малко по-различна. Като изключим Слънцето, останалите звезди все още се наблюдават като точкови обекти. Особено когато става дума за събиране на светлина за спектрални наблюдения. Следователно в спектрографа влиза светлина от цялата видима половина на звездата. Тогава, въртенето на звездата довежда до разширение на спектралните линии. Отново е в сила формула (2), но тя вече се отнася за всяко едно от крилата на спектралната линия.

или общо:

Ето няколко схематични профила на линията, построени за различни скорости на въртене.

Друга причина за разширението на спектралните линии е топлинното движение на излъчващите атоми и йони в атмосферите на звездите. От кинетичната теория на газовете знаем, че средната кинетична енергия на частица от газ с температура $T$ е:

Където $\bar{v}^{2}$ е средната стойност на квадратите на скоростите на частиците в газа, $m$ е масата на частиците на разглеждания газ, а $k$ е константата на Болцман.

Оттук следва:

Скоростта $\hat{v}$ се нарича средна квадратична скорост на частиците (атоми или молекули) на газа. Тя е равна на корен квадратен от средната стойност на квадратите на скоростта на частиците в газа и е близка, по големина, до средната скорост и до най-вероятната скорост на частица от газа. Използваме средната квадратична скорост за да пресметнем разширението на спектралните линии. Трябва да не забравяме, че спектралните линии са на конкретни атоми и йони и техните маси трябва да се използват коректно при пресмятането на скоростите. Затова спектралните линии на съществено различаващи се по маса атоми, се разширяват по различен начин при една и съща температура. Освен това в разширението участват както атоми които се движат в посока към наблюдателя, така и атоми, които се движат в посока на отдалечаване от наблюдателя. Затова във формулата за ширината на спектралната линия трябва да добавим коефициент 2.

Поради това, че скоростите са разпределени случайно по големина и посока, профилът на спектралните линии е близък до профила на нормалното разпределение, т.е. близък е до гаусиана.

Нека първо пресметнем разширението на спектралните линии поради топлинното движение на атомите в атмосферите на звездите. Използваме формула (5), като не забравяме, че масата на атомите е равна на атомната единица маса умножена по броя на нуклоните (протони и неутрони) в ядрото на атома. Затова, когато пресмятаме разширението на водородните линии, използваме за маса атомната единица маса, а пресмятайки разширението на линията на хелия умножаваме атомната единица маса по 4. За ширината на спектралните линии, дължаща се на топлинното движение на атомите, получаваме:

За Регул: $\Delta\lambda_{H_{\alpha}} = 0.77$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.26$ Å

За Слънцето: $\Delta\lambda_{H_{\alpha}} = 0.52$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.175$ Å

Поради движението си в пространството, Регул има лъчева скорост, равна на $V_r$ = + 6 km/s. Спектралните линии ще са изместени към червения край на спектъра. Използваме формула (1) и получаваме:

Слънцето изглежда неподвижно, но това не е така. Макар и бавно, то се върти около общия център на масите с Юпитер. (Разбира се, останалите планети също имат принос, обаче най-голямо е влиянието на Юпитер.)

Разглеждаме Слънцето и Юпитер като двойна система.

Поради кръговата орбита на Юпитер:

Оттук следва: $\Delta\lambda_{H_{\alpha}} = 0.00027$ Å, $\Delta\lambda_{HeI} = 0.00018$ Å

На пръв поглед изглеждат много малки стойности, но лъчевите скорости вече се измерват с точност до 0.7 m/s. Екстремно големият телескоп (39м) се планира да достигне точност на измерване на лъчевите скорости до 2 cm/s.

Да пресметнем разширението на спектралните линии поради въртенето на Регул около оста му. Линейната скорост на точка от екватора на звездата е:

Това е изключително голяма скорост. Използваме формула (3) за определяне на ширината на спектралните линии:

Въртенето на Слънцето е съществено по-бавно. За него получаваме скорост на екватора: $V_S$ = 2.02 km/s .

Особеното в случая е това, че се наблюдава не разширение на спектралните линии, а изместване (когато наблюдаваме със спектрограф източния или западния край на диска на Слънцето и при подходяща ориентация на оста на въртене). Когато наблюдаваме източния край на диска, преместването е към синия край на спектъра, а когато наблюдаваме към западния край на диска – към червения.

На Слънцето може да се наблюдават спектрално и динамични процеси. Едно от тези явления е конвекцията, която достига до повърхността и се вижда под формата на гранулация. Скоростта на издигащото се вещество в центъра на гранулите достига до около 400 km/s и това може да се изследва със спектрограф. Максималното отклонение към синия край на спектъра получаваме, като използваме за пресмятане формула (1). Получаваме:

Веществото по периферията на гранулите се движи по-бавно, а между гранулите се движи към вътрешността на атмосферата на Слънцето. Когато наблюдаваме със спектограф, той събира светлина обикновенно от област, по-голяма от размера на гранулите. Затова тези движения водят до разширение на линията, което по големина е близо до получените величини, или до деформация на вида на спектралната линия, когато процепът на спектографа е много тънък.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

• За разсъждения върху ефекта на движението на звездата спрямо нас – 3 т.
• За разсъждения относно въртенето на звездата – 3 т.
• За разсъждения относно топлинното разширение на линиите – 3 т.
• За числени пресмятания за Регул – 3 т.
• За числени пресмятания за Слънцето – 3 т.

Справочни данни: