НОА 2017, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Комета

• А) Оста на времето е в години – двете отметки съответстват на 2020 г. и 2030 г. (разстоянието между два съседни максимума/минимума на краткопериодичната компонента е една година). Оста на разстоянието е в астрономически единици – хоризонталните линии са прекарани през 1 AU.

• Б) $T \approx 5.24\ \text{години}$

• В) $r_{a} \approx 5.45\ \mathrm{AU}$

  Близко е до радиуса на орбитата на Юпитер, който е 5.2 AU.

• Г) $a = \sqrt[3]{T^{2}} \approx 3.02\ \mathrm{AU}$

В изменението на разстоянието от тази комета до Земята ясно се раличава наслагване на две периодични компоненти – една с по-дълъг период, а другата с по-кратък. По правило кометите се движат по силно изтеглени елиптични орбити около Слънцето и само за сравнително кратко време могат да преминават през по-вътрешните части на Слънчевата система, където е и Земята. Много по-дълго те се намират в далечните части от своите орбити, където съгласно втория закон на Кеплер скоростите им са значително по-малки. Това ясно се вижда при дългопериодичната компонента на изменението на разстоянието Земя – комета. Периодите, когато това разстояние е минимално, са значително по-кратки от периодите, когато разстоянието е около максималната си стойност. Можем да заключим, че дългопериодичната компонента съдържа информация за орбиталното движение на кометата около Слънцето. Освен това се вижда, че интервалът от стойности, в който се променя разстоянието Земя – комета, е много голям – най-вероятно в далечните части от своята орбита кометата е на разстояние от Земята значително превишаващо една астрономическа единица.

Краткопериодичната компонента показва доста регулярен характер. Но нейното съществуване трудно може да се обясни, ако го свързваме само с кометата. Това периодично изменение на разстоянието се дължи на орбиталното движение на нашата планета около Слънцето. Именно то ще ни даде възможност да нанесем по двете оси на графиката мерните единици за време и разстояние.

Интервалът от време между два съседни максимума или минимума в краткопериодичната компонента на графиката се равнява на една година. Преброявайки максимумите или минимумите, веднага можем да съобразим, че едната отметка на оста на времето съответства на 2020 г., а другата – на 2030 г.

За да намерим орбиталния период на кометата по-точно, измерваме по оста на времето разстоянието между първия и четвъртия дълбок минимум на графиката и после го разделяме на 3, защото в този интервал се съдържат три орбитални периода на кометата. Като използваме мащаба на оста на времето, определяме орбиталния период на кометата:

Скалата на разстоянието е разграфена равномерно с хоризонтални линии. Чрез измерване веднага се убеждаваме, че тези линии са прекарани през интервал, равен на половината от амплитудата на краткопериодичните колебания на графиката. Можем да предположим, че това съответства на радиуса на земната орбита – една астрономическа единица. Това би било вярно обаче, само ако орбитата на кометата лежи в равнината на земната орбита.

За да проверим това предположение, използваме III закон на Кеплер и намираме голямата полуос $a$ на орбитата на кометата:

В тази форма на закона голямата полуос е изразена в астрономически единици, а периодът – в години.

В условието е казано, че в перихелий кометата е по-близо до Слънцето от Земята. Тъй като голямата ос на орбитата на кометата е $2a \approx 6\ \mathrm{AU}$, то нейното разстояние до Слънцето в афелий ще бъде между 5 и 6 астронамически единици. Ако прекараме гладка крива през графиката, която да „изглажда“ минимумите и максимумите от краткопериодичните изменения, тя ще представя приблизително графика на изменение на разстоянието от кометата до Слънцето. Максимумите на тази крива съответстват на разстоянието от кометата до Слънцето в афелий. Ако предположим, че оста на разстоянието е разграфена в астрономически единици, то това разстояние действително се оказва межде 5 и 6 астрономически единици. Оттук можем да заключим, че кометната орбита действително лежи в равина, много близка до равнината на земната орбита и че оста на разстоянието наистина е разграфена в астрономически единици.

За по-точни измервания при определянето на разстоянието в афелий използваме двата почти еднакви пика A и B от краткопериодичното изменение, наложени върху първия максимум на дългопериодичната компонента. Намираме средата между нивото на давата пика и минимума C между тях. По-точен резултат ще получим, ако от най-високите максимуми, в следващите две преминавания на кометата през афелия, извадим 1 астрономическа единица. В двата пика А и В кометата не е в афелий. r е около 5.5AU). Измерваме по скалата и получаваме разстоянието от кометата до Слънцето в афелий:

Това разстояние е близко до радиуса на орбитата на Юпитер, който е 5.2 AU.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За обща идея какво представляват двете периодични компоненти на изменение на разстоянието – 2 т.

За установяване на мерните идиници по оста на времето – 2 т.

За определяне на орбиталния период на кометата – 2 т.

За установяване на мерните единици по оста на разстоянието – 2 т.

За определяне на голямата полуос на орбитата на кометата – 2 т.

За разсъждения относно наклона на кометната орбита и обосновка – 2 т.

За определяне на разстоянието от кометата до Слънцето в афелий – 3 т.