НОА 2017, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Слънчева батерия

• А) $T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{\gamma M}} = 5717^{s} \approx 1^{h}35^{m}17^{s}$

  Радиусът на орбитата е $r = R/\sin\alpha = 6922{,}4$ km при $\alpha = 66^{\circ}.976$.

• Б) Не се налага. Измерените периоди са синодични, но всички граници между огряваната и неогряваната зона се въртят с постоянна ъглова скорост, така че отношенията между интервалите се запазват; разликата между синодичния и сидеричния период е много малка и приближението е допустимо.

• В) $\Delta t \approx \frac{\Delta l}{l}\cdot T \approx \frac{7}{64.5}\cdot 5717^{s} \approx 620^{s} \approx 10^{m}$

  Телескопът се движи с около 7.6 km/s, а лунната сянка – с около 1 km/s, почти успоредно; относителната скорост е $v_{rel} \approx 6.6$ km/s. Освен това телескопът най-вероятно не е преминал през оста на конуса на лунната сянка.

За да определим периода на обикаляне на телескопа около Земята, трябва да намерим радиуса на неговата орбита. Може да направим това, като измерим каква част от орбитата на телескопа се разполага в сянката на Земята. На диаграмата показваща чрез напрежението в батерията режима на нейното зареждане и разреждане, измерваме много внимателно продължителността на интервала в който батерията се зарежда, и в който се разрежда. Сумата от двата интервала дава пълния синодичен период на спътника, а отношението на интервала, в който батерията се разрежда, към пълния период, дава каква част от орбитата е в сянката на Земята. Понеже ни трябва отношението на двата интервала от време, ние може да формираме това отношение директно от нашите измервания по диаграмата в милиметри. За пълния заряден цикъл измерванията дават стойност $l = 64.5\ \mathrm{mm}$, а за времето на разреждане на батерията получаваме $l_{1} = 24\ \mathrm{mm}$. Построяваме диаграма, която показва взаимното положение на Земята, слънчевите лъчи, зоната на сянката и орбитата на телескопа.

Очевидно,

Следователно,

Тогава за радиуса на орбитата получаваме:

От третия закона на Кеплер може да определим периода на обикаляне на спътника около Земята:

Това, че периодите са синодични, няма значение, защото всички граници между огряваната и неогряваната пространствена зона се въртят с постоянна ъглова скорост и отношенията между интервалите време се запазват, независимо от големината на ъгловата скорост. Ако разгледаме ситуацията в система, свързана с линията Земя-Слънце, то ще видим, че всички пространствени зони, ъгли и отношения са съвсем същите, каквито биха били в невъртяща се инерциална координатна система, в която всички периоди са сидерични.

Измерваме продължителността на пресичането на зоната на слънчевото затъмнение. Оказва се $\Delta l = 7\ \mathrm{mm}$. За продължителността в минути получаваме:

Приближението тук е че използваме сидеричния период на спътника, но разликата със синодичния период е много малка и приближението е допустимо.

Причината за краткото време е, че космическият апарат се движи по орбитата си с много голяма скорост, около 7.6 km/s. Лунната сянка се движи с около 1 km/s. Виждаме, че преминаването през сянката е приблизително в средата на светлия интервал от време. Следователно космическият телескоп и Луната се движат почти успоредно и може да извадим двете скорости за да получим приблизителната относителна скорост.

Голямата скорост, както и това, че най-вероятно телескопът не е преминал през оста на конуса на Лунната сянка, са допринесли за малката продължителност на това явление.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен метод за определение на периода на кораба – 3 т.

За измервания и изчисления – 4 т.

За верен краен резултат – 1 т.

За съображения дали трябва да се отчита движението на Земята около Слънцето – 3 т.

За разсъждения относно продължителността на затъмнението – 3 т.

За правилен извод – 1 т.