Съдържание

НОА 2018, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Наблюдение на планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2018

XXI Национална олимпиада по астрономия 2018, II кръг, ученици от 9-10 клас · 24 февруари 2018 г. · 15 т.

Условие

От столетия насам астрономите са успявали да определят разстоянията между различни обекти в Слънчевата система, макар и само в относителни единици. Като относителна единица се е изпозвала астрономическата единица (средното разстояние от Земята до Слънцето). Нейната истинска стойност е била определена сравнително точно едва във втората половина на XVII век.

Планетни конфигурации

А) Представете си, че сте астроном от XVII век. На 5 януари наблюдавате една планета в противостояние (опозиция). На 24 юли същата година, която не е високосна, планетата е в съединение. Определете нейния сидеричен период (истинския период на обикаляне на планетата около Слънцето).

Б) Като използвате вашите данни и известния вече тогава трети закон на Кеплер, определете радиуса на орбитата на планетата в астрономически единици.

В) Представете си, че вече живеете в XXI век, но не знаете третия закон на Кеплер. Затова пък разполагате с добър телескоп и определяте видимия ъглов диаметър на планетата. Когато планетата е била в противостояние, той е бил 45.9″, а когато е била в източна квадратура – 37.7″. Определете радиуса на орбитата на планетата по тези данни, отново в астрономически единици.

В) Коя е планетата?

Отговори

Решение

Пресмятаме броя дни от 5 януари до 24 юли:

26 (до края на януари) + 28 (февруари) + 31 (март) + 30 (април) + 31 (май) + 30 (юни) + 24 (юли) = 200 дни

Това е времето от противостоянието до съединението на планетата. То представлява половината от нейния синодичен период. Следователно синодичният период на планетата е $T_{SYN} = 400$ дни. Щом планетата може да е в противостояние, то тя е външна планета. Ако $T_0 = 1$ година е орбиталният период на Земята около Слънцето, а $T_{SID}$ е сидеричният период на планетата, то в сила е съотношението:

\frac{1}{T_{SYN}} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_{SID}}

От него намираме:

T_{SID} = \frac{T_0 T_{SYN}}{T_{SYN} - T_0}

T_{SID} \approx 11.51\ \text{години}

Записваме третия закон на Кеплер за случая, когато радиусът на орбитата на планетата $r_J$ се измерва в астрономически единици, а орбиталният период в години:

\frac{r_J^{\,3}}{T_{SID}^{\,2}} = 1

По-нататък пресмятаме:

r_J = \sqrt[3]{T_{SID}^{\,2}}

r_J \approx 5.1\ \text{AU}

Да означим видимия ъглов диаметър на планетата в противостояние с $\delta_1$ , а в източна квадратура – с $\delta_2$ . Нека разстоянието между Земята и планетата в противостояние да бъде $x$ , а разстоянието между Земята и планетата в източна квадратура да бъде $y$ . Радиусите на земната орбита и на орбитата на Юпитер са съответно $r_T$ и $r_J$ .

Същата схема с добавени означения: радиус на земната орбита r_T, радиус на орбитата на планетата r_J, разстояние x до планетата в противостояние и разстояние y до планетата в източна квадратура.

Както се вижда от схемата:

x = r_J - r_T

y = \sqrt{r_J^{\,2} - r_T^{\,2}}

Очевидно е съотношението:

\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{y}{x}

\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{\sqrt{r_J^{\,2} - r_T^{\,2}}}{r_J - r_T}

Оттук пресмятаме:

\frac{r_J}{r_T} = r_J[\text{AU}] = \frac{\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^2 + 1}{\left(\frac{\delta_1}{\delta_2}\right)^2 - 1}

r_J \approx 5.1\ \text{AU}

От получения орбитален период и от радиуса на орбитата заключаваме, че става въпрос за планетата Юпитер.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За съображението,че времето от противостояние до съединение е половината от синодичния период на планетата – 1 т.
За определяне на синодични период на планетата – 2 т.
За използване на правилната формула за синодичен и сидеричен период на външна планета – 1 т.
За пресмятане на сидеричния период – 2 т.
За определяне на орбиталния радиус на планетата от закона на Кеплер – 3 т.
За правилен метод ва определяне на орбиталния радиус на планетата чрез видимите ъглови размери в противостояние и квадратура – 4 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За верен отговор коя е планетата – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2018_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2018_9-10solutions.pdf