НОА 2019, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Ерата на Водолея

• 2600 година

  Измерванията по картата дават $\Delta t \approx 581$ години след 2019 г., т.е. ерата на Водолея настъпва около 2600 г.

Решение:

От дефинициите за звездна година и за тропична година следва, че разликата между тях се дължи на движението на пролетната равноденствена точка. Тя се движи по еклиптиката, срещу движението на Слънцето. Затова звездната година е по-дълга от тропичната. Изваждаме от звездната година тропичната и за разликата между тях получаваме $\Delta T = T_{sid} - T_{tr} = 0^\mathrm{d}.014173 = 20^\mathrm{m}.40912$. Тази разлика се отнася към звездната година, т.е. към периода на обикаляне на Земята около Слънцето, така както се отнася ъгловото отместване на пролетната равноденствена точка по еклиптиката за една година към $360^\circ$. Намираме това отношение:

Намираме и ъгловото отместване на пролетната равноденствена точка по еклиптиката за една година:

Измерваме на колко милиметра отговарят $10^\circ$ на картата. Получаваме, че това са 71.1mm. Следователно мащабът на изображение, изразен в дъгови секунди на милиметър е $k = 506.33\ ''/\mathrm{mm}$. Измерваме по еклиптиката, разстоянието $d$ между пролетната равноденствена точка и точката, в която еклиптиката пресича границата със съзвездието Водолей. Получаваме, че $d = 57.7\ \mathrm{mm}$. Умножаваме по мащаба и получаваме на колко дъгови секунди на небето отговаря това разстояние:

Делим на ъгловото отместване на пролетната равноденствена точка за една година и получаваме за колко години ще бъде изминато това разстояние:

Пролетната равноденствена точка ще навлезе в съзвездието Водолей след около 581 години. Следователно това ще се случи през 2019 + 581 = 2600 година.

Разбира се, може да очакваме, че графичното изображение на отделните елементи, които използвахме за решаването на задачата, съдържа в себе си неточности, така че вероятно резултатът, който получихме, е повлиян от някаква грешка. Тя, обаче, едва ли е голяма. Резултатът посочен в достъпни източници, например в Уикипедия (https://en.wikipedia.org/wiki/Age_of_Aquarius), точно съвпада с получения от нас.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилна логическа постановка на задачата за пресмятане на годишната прецесия – 2 т.
• За правилна математическа постановка на задачата – 2т.
• За верен числен отговор – 1 т.
• За правилно ориентиране по картата. Намиране на пролетната равноденствена точка, границата на съзвездието Водолей и пресечната точка на еклиптиката с тази граница – 1 т.
• За точни измервания по картата – 1 т.
• За намиране на разстоянието между пролетната равноденствена точка и пресечната точка с границата на съзвездието Водолей в ъглови единици – 2т.
• За правилен подход и математическа формулировка при намирането на времето до преминаването на пролетната равноденствена точка във Водолей – 2т.
• За правилен резултат – 1 т.