Съдържание

НОА 2019, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Ultima Thule

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

XXII Национална олимпиада по астрономия 2019, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 23 февруари 2019 г. · 12 т.

Условие

Ultima Thule. Астероидът Ultima Thule принадлежи към пояса на Койпър, състоящ се от ледени тела в далечните предели на Слънчевата система. През януари 2019 г. покрай него прелетя станцията New Horizons и предаде на Земята изненадващи снимки, на които се вижда, че астероидът се състои от две слепени тела с диаметри 19.5 и 14.2 km. Да предположим, че двете компоненти имат кълбовидна форма, а плътността им е сравнима с тази на водата – 1000 kg/m $^3$ .

Двойният астероид Ultima Thule: по-малкото тяло е надписано Thule, по-голямото – Ultima; точка А е на върха на Thule, точка В – на противоположния край на Ultima.

Гравитационна константа $6.67 \times 10^{-11}$ m $^3$ /kg.sec $^2$

А) Вие сте космонавт изследовател и се спускате към астероида с малки ракетни двигатели, прикрепени към вашия скафандър. Заедно със скафандъра масата ви е 120 kg. Колко килограма ще тежите, ако застанете в точка А? А ако застанете в точка В?

Б) С кратък ракетен импулс двигателите ви придават минималната необходима скорост, за да се откъснете завинаги от гравитацията на астероида – втора космическа скорост. Пресметнете тази скорост за точките А и В.

Отговори

Решение

Решение:

Първо определяме масите на двете части на астероида – $M_U$ и $M_T$ . Означаваме с $R_U$ и $R_T$ техните радиуси и с $\rho$ плътността им и пресмятаме:

M_U = \frac{4}{3}\pi R_U{}^3 \cdot \rho \approx 3.88 \times 10^{15}\ \mathrm{kg}

M_T = \frac{4}{3}\pi R_T{}^3 \cdot \rho \approx 1.50 \times 10^{15}\ \mathrm{kg}

Тъй като нямаме информация за околоосното въртене на астероида, ние няма да отчитаме това въртене при следващите пресмятания. Ако космонавтът застане в точка А на астероида, той ще е на разстояние $R_T$ от центъра на кълбовидната компонента Thule и на разстояние $R_U + 2R_T$ от кълбовидната компонента Ultima. Тогава теглото му в ще бъде:

G_A = m \cdot \left[\frac{\gamma M_T}{R_T{}^2} + \frac{\gamma M_U}{(R_U + 2R_T)^2}\right]

където $m$ е масата на космонавта, а $\gamma$ е гравитационната константа. Това тегло е изразено в нютони. За да намерим колко килограма ще тежи той на повърхността на астероида, трябва да разделим теглото на земното ускорение $g$ :

m_A{}' = \frac{G_A}{g} \approx 0.030\ \mathrm{kg} = 30\ \mathrm{g}

Ако космонавтът е в точка В, то неговото тегло ще бъде:

G_B = m \cdot \left[\frac{\gamma M_U}{R_U{}^2} + \frac{\gamma M_T}{(R_T + 2R_U)^2}\right]

m_B{}' = \frac{G_B}{g} \approx 0.035\ \mathrm{kg} = 35\ \mathrm{g}

За да намерим втора космическа скорост за точка А на астероида, ще използваме закона за запазване на енергията. Условието ще бъде космонавтът да има енергия равна на нула на безкрайно разстояние от астероида. Следователно ако му се придаде скорост $v_A$ с ракетните двигатели на повърхноста на астероида, неговата пълна механична енергия трябва да бъде:

E = \frac{m v_A{}^2}{2} - \frac{\gamma m M_T}{R_T} - \frac{\gamma m M_U}{R_U + 2R_T} = 0

Оттук намираме:

v_A = \sqrt{2\gamma\left(\frac{M_T}{R_T} + \frac{M_U}{R_U + 2R_T}\right)}

v_A \approx 7.1\ \mathrm{m/s}

По аналогичен начин за втора космическа скорост в точка В получаваме:

v_B = \sqrt{2\gamma\left(\frac{M_U}{R_U} + \frac{M_T}{R_T + 2R_U}\right)}

v_A \approx 7.9\ \mathrm{m/s}

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен метод за определяне на теглото в точките А и В – 5 т.
За верни числени отговори – 2 $\times$ 0.5 т. = 1 т.
За правилен начин за определяне на втора космическа скорост – 5 т.
За верни числени отговори – 2 $\times$ 0.5 т. = 1 т.

Карта на небето с екваториални координати, еклиптиката, границите на съзвездията и Млечния път – към задача 1. — Карта на небето с мрежата на екваториалните координати в текущата епоха, еклиптиката и границите на съзвездията – към задача 1.

Карта на звездното небе в галактични координати с Млечния път и означени ярки звезди – към задача 3. — Карта на звездното небе в галактични координати – към задача 3.

Оригинал в Архива: NOA2_2019_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2019_11-12solutions.pdf