Съдържание

НОА 2019, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5. Пешеходна скорост

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

XXII Национална олимпиада по астрономия 2019, областен кръг, възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2019 г. · 12 т.

Условие

Да си представим, че Слънцето е самотна звезда, която се носи в космическото порстранство извън нашата Галактика и далеч от всякакви други галактики.

А) Вие сте в космически кораб, който се движи около Слънцето по кръгова орбита с радиус 1 светлинна година. Като знаете, че светлината от Слънцето достига до Земята за 500 секунди, пресметнете за колко време корабът ще прави една обиколка около Слънцето.

Б) С кратък импулс на ракетните двигатели вашият космически кораб придобива минималната скорост, с която може да се откъсне от гравитационното въздействие на Слънцето и никога повече да не се върне към него – скорост на избягване, аналогича на втора космическа скорост. Пресметнете каква трябва да е тази скорост.

Скоростта на светлината е 300 000 km/s.

В) Определете разстоянието от Слънцето, на което скоростта на избягване ще се равнява на скоростта на пешеходец – 5 km/h. Споделете вашето впечатление от резултата, който получавате.

Отговори

Решение

Решение:

Да означим с $T_0$ и $T$ орбиталните периоди на Земята и на космическия кораб около Слънцето, а с $r_0$ и $r$ радиусите на орбитите на Земята и на кораба. Използваме III закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2} = \frac{r_0^{\,3}}{T_0^{\,2}}

Оттук получаваме:

T = T_0\sqrt{\frac{r^3}{r_0^{\,3}}}

Ще изразим периодите в години, а орбиталните радиуси в светлинни секунди:

T = 1\ \text{година} \times \sqrt{\frac{(1\ \text{св. година} \times 365.25\ \text{св. дни} \times 24^h \times 60^m \times 60^s)^3}{(500^s)^3}}

T \approx 15.86 \times 10^{6}\ \text{години}

Скоростта на избягване, или параболичната скорост на разстояние $r$ от тяло с маса $M$ се изчислява по формулата:

v_p = \sqrt{\frac{2\gamma M}{r}} = v_0\sqrt{2}

където $\gamma$ е гравитационната константа, а $v_0 = \sqrt{\gamma M / r}$ е кръговата скорост или скоростта на движение по кръгова орбита с радиус $r$ около тялото с маса $M$ .

Като знаем периода на обикаляне на космическия кораб по кръгова орбита с радиус една светлинна година, можем да определим неговата кръгова скорост. За по-лесно пресмятане ще я сравним със скоростта на светлината $c$ = 300 000 km/s. Дължината на окръжността с радиус 1 светлинна година е равна на $2\pi$ светлинни години. Светлината изминава такова разстояние за $2\pi$ години време, а космическият кораб – за $15.86 \times 10^6$ години. Следователно:

\frac{v_0}{c} = \frac{2\pi \times 1\ \text{година}}{15.86 \times 10^{6}\ \text{години}}

v_0 \approx 118.9\ \mathrm{m/s}

Сега вече лесно ще намерим параболичната скорост:

v_p = v_0\sqrt{2} \approx 168\ \mathrm{m/s}

Скоростта на пешеходеца означаваме с $v_1 = 5\ \mathrm{km/h} \approx 1.39\ \mathrm{m/s}$ , а разстоянието от Слънцето, на което тя се равнява на параболичната скорост, с $r_x$ . От формулата за параболичната скорост получаваме:

r = \frac{2\gamma M}{v_p^{\,2}}

r_x = \frac{2\gamma M}{v_1^{\,2}}

Разделяме двете уравнения почленно и намираме:

r_x = r\cdot\frac{v_p^{\,2}}{v_1^{\,2}}

r_x \approx 14600\ \text{светлинни години}

Този резултат на пръв поглед изглежда толкова невероятен, че е естествено решаващият задачата отначало да не повярва в своите изчисления и у него да възникне желание да ги провери поне няколко пъти. Оказва се, че дори на разстояние, сравнимо с галактичните мащаби, нашата пешеходна скорост няма да е достатъчна, за да се откъснем от гравитацията на Слънцето. Това е още една демонстрация колко са огромни космическите измерения в сравнение с нашите привични човешки мерки.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен начин за определяне на периода на движение на кораба около Слънцето на 1 светлинна година – 3 т.

За верен числен резултат – 1 т.

За правилен начин за определянена параболичната скорост на това разстояние от Слънцето – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За правилен начин за определяне на разстоянието, на което пешеходната скорост е равна на параболичната – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2019_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2019_9-10solutions.pdf