НОА 2019, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Хипотетична двойна звезда

• А) $M_A + M_B \approx 3.58\ M_\odot,\quad M_A \approx 2.4\ M_\odot,\quad M_B \approx 1.2\ M_\odot$

  Черната дупка (компонента А) има маса $M_A \approx 2.4$ слънчеви маси, а звездата (компонента В) – $M_B \approx 1.2$ слънчева маса; сумарната маса е $\approx 3.58$ слънчеви маси.

• В) $t = T\left(\frac{1}{4} - \frac{f}{2\pi a}\right) \approx 4.87\ \text{години}$

Решение:

От дадената ни фигура се вижда, че наблюдаваната относителна орбита на звездата около черната дупка е окръжност. Но звездата се движи неравномерно и това означава, че истинската орбита е елипса, която се проектира върху небесната сфера за земния наблюдател като окръжност. Ако елипсата има голяма полуос $a$ и малка полуос $b$, то както се вижда от схемата по-долу, проектираната окръжност ще има диаметър $2b$.

Даден ни е паралаксът на двойната система $p = 0.03''$. Това означава, че на разстоянието от нас до ситемата отсечка с дължина 1AU се вижда под ъгъл $0.03''$. Видимият ъглов диаметър на проектираната орбита е $\delta = 0.3''$. Следователно в астрономически единици:

Така определяме малката полуос на действителната относителна орбита:

Означаваме с $v$ скоростта на движение на компонентата В по относителната елипса около черната дупка, а с $v_r'$ – нейната проекция по зрителния лъч към земния наблюдател. Наблюдаваната от нас лъчева скорост $v_r$ обаче, ще бъде проекция на скоростта на звездата относно центъра на масите на системата (считаме, че системата като цяло не се движи относно Земята). Ако означим масите на компонентите А и В съответно с $M_A$ и $M_B$, а техните скорости относно центъра на масите на системата с $v_A$ и $v_B$, то в сила са съотношенията:

От тези уравнения намираме:

За „лъчевата скорост“ относно компонентата А можем да напишем:

Относителната скорост $v$, чиято проекция е $v_r'$, е скоростта на компонентата В в точка от елипсата, която е в края на малката полуос. Както е известно, тази скорост е равна на кръговата скорост на движение около същия гравитационен център по орбита с радиус, равен на голямата полуос $a$. Можем да напишем:

където $T$ е даденият ни орбитален период.

От схемата се вижда също и следното:

От (1), (2), (3) и (4) получаваме:

Накрая, за да намерим масите на двете компоненти, използваме III закон на Кеплер:

където голямата полуос е изразена в астрономически единици, орбиталният период в години, а масите в слънчеви маси.

Следователно черната дупка има маса $M_A \approx 2.4$ слънчеви маси, а масата на звездата, или компонентата В е $M_B \approx 1.2$ слънчева маса.

Вече можем да определим и фокусното разстояние $f$ на относителната елиптична орбита, а оттам – положението на черната дупка:

За да намерим за колко време компонентата В ще измине дъгата XY, ще използваме II закон на Кеплер. Трябва да пресметнем каква част от цялата площ на елиптичната орбита е площта, описана от радиус-вектора на звездата В от точката X до точката Y. Но можем да опростим нашите изчисления. В проекцията на орбитата, която наблюдаваме, отношението на площите се запазва същото, каквото е при действителната орбита. Ето защо ще пресметнем съответното отношение на площите в проектираната орбита. На фигурата по-долу $f'$ е проекцията на фокусното разстояние на елиптичната орбита:

Пресмятаме лицето на триъгълник АОХ:

Защрихованата фигура е проекция на фигурата, описвана от радиус-вектора на звездата. Площта на тази проекция е:

Времето, за което звездата В изминава пътя от точка X до точка Y ще бъде:

Критерии за оценяване (общо 14 точки):

За правилна обща представа за разположението на действителната орбита относно наблюдателя – 2 т.

За определяне на малката полуос на елипсата чрез паралакса – 1 т.

За отчитане на факта, че наблюдаваната лъчева скорост е скорост относно центъра на масите и привеждането ѝ към система, свързана с черната дупка – 2 т.

За правилен метод за определяне на масите на двете компоненти – 4 т.

За верни числени стойности на масите – 1 т.

За правилен начин за определяне на времето за изминаване на разстоянието между точките X и Y – 3 т.

За верен числен резултат – 1 т.