Съдържание

НОА 2019, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Черната дупка в M87

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

XXII Национална олимпиада по астрономия 2019, национален кръг, възрастова група IX-X клас · 19 април 2019 г. · 14 т.

Условие

3 задача. Черната дупка в M87. Вероятно Вие добре знаете, че миналата седмица бе оповестено публично първото директно получаване на изображение на черна дупка. Тя се намира в гигантската елиптична галактика M 87, която е най-масивният член на купа от галактики в съзвездието Дева (Virgo cluster). Изображението е резултат от комбиниране на кадри, получени с телескопите, които са част от колаборацията Event Horizon Telescope (EHT). С помощта на това наблюдение стана възможно да се тества Общата теория на относителността и да се определи директно масата на централната черна дупка.

Предлагаме Ви да повторите повторите тази оценка. За целта разполагате с полученото изображение на черната дупка в M87, като е даден и ъгловият му мащаб. Известно е също така, че червеното отместване, което се наблюдава в спектъра на галактиката M87 поради разширението на Вселената, е 0.00428. В центъра на изображението се вижда една кръгла тъмна област. Това е т.нар. сянка на черната дупка, т.е. областта около центъра, от която ние не получаваме никакво електромагнитно лъчение. Контрастът в тази област е изкуствено повишен. Съгласно теорията, радиусът на сянката е 2.6 пъти по-голям от радиуса на Шварцшилд на черната дупка. Използвайки изображението и дадените в условието данни, намерете масата на черната дупка в центъра на галактиката M87 (за предпочитане, в единици слънчеви маси).

Полезна информация:

Скоростта V, с която една галактика се отдалечава от нас поради разширението на Вселената, се задава със закона на Хъбъл: V=H.r, където r е разстоянието до галактиката, а H = 70 (km/s)/Mpc е константата на Хъбъл.
Радиус на Шварцшилд е радиусът на една мислена сфера около черната дупка, на чиято повърхност гравитационното поле е такова, че втора космическа скорост е равна на скоростта на светлината.

Реконструираното от Event Horizon Telescope изображение на черната дупка в M87: горе – комбинираният кадър с мащабна отсечка 50 μas, долу – три отделни кадъра от 5, 6 и 10 април и цветова скала за яркостната температура в единици 10^9 K. — Изображение на черната дупка в галактиката M 87.

Отговори

Решение

Решение:

Използвайки червеното отместване z на M87 намираме, че скоростта, с която тя се отдалечава от нас е:

v = c.z = 1\ 284\ \text{km/s}

От закона на Хъбъл следва, че разстоянието до нея е:

r = \frac{v}{H} = 18{,}34\ \text{Mpc}

От изображението измерваме, че видимият ъглов размер на сянката на черната дупка е δ≈18 mas (В зависимост от начина, по който изображението е разпечатано е възможно учениците да измерват стойност, която систематично, макар и слабо се различава от тази)

По условие сянката има 2,6 пъти по-голям размер от радиуса на Шварцшилд, откъдето намираме, че този радиус се вижда под ъгъл δ $_S$ ≈ 7 mas.

Оттук можем да намерим, че линейният размер радиуса на Шварцшилд на тази черна дупка е:

R_S = r.\delta\ [rad] \approx 1{,}91.10^{13}\,m

Понеже на повърхността, която се загражда от радиуса на Шварцшилд, втора космическа скорост е точно равна на скоростта на светлината, то можем да запишем, че:

c = \sqrt{\frac{2.\gamma.M}{R_S}},

където M е масата на черната дупка.

Оттук следва, че:

M = \frac{R_S.c^2}{2.\gamma} \approx 1{,}29.10^{40}\,kg \approx 6{,}5.10^{9}M_{sun}

Оттук правим извода, че наистина е възможно това да е най-масивната известна черна дупка.

Впрочем, нейната маса е равна на толкова слънчеви маси, колкото човека са живели на Земята през 2000 г. ☺. Дали е случайно…

Критерии за оценяване (14т.):

За намиране на скоростта на отдалечаване и числена стойност – 2т.;
За правилно намиране на разстоянието до M87 и числена стойност – 2т.;
За измервания по изображението и получаване на правдоподобна стойност на видимия ъглов размер на радиуса на Шварцшилд – 2т;
За намиране на линейния размер на този радиус (получената стойност трябва да отговаря на предварително получените стойности на разстоянието и видимия ъглов размер) – 2т.;
За правилен израз за радиуса на Шварцшилд – 2т.;
За правилен краен израз за масата на черната дупка и правдоподобна стойност (съответстваща на получените преди това стойности) – 4т.;

Оригинал в Архива: NOA3_2019_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2019_9-10solutions.pdf