Съдържание

Условие Указания Справочни данни Решение

НОА 2019, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Маса на екзопланета

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

18 юли 2019 г. · 15 т.

Условие

Звездата 51 Peg (с маса $M=1{,}11$ слънчеви маси) е първата, около която е потвърдено съществуването на екзопланета, чрез използване на метода на лъчевите скорости. Установено е, че орбиталният период на тази планета е $P=4{,}23$ денонощия. В таблицата е дадена лъчевата скорост на звездата 51 Peg, като функция на орбиталната фаза. Данните са получени от измервания, извършени в течение на много дълго време и на тях се базира откритието, че около тази звезда обикаля планета.

А) По данните от таблицата постройте кривата на лъчевата скорост на звездата в зависимост от фазата;

Б) Определете масата на екзопланетата и я сравнете с масата на Юпитер.

Указания

В решението е възможно да използвате някакви малки приближения, които трябва да обясните.

Приемете, че зрителният лъч е в равнина много близка до тази, в която лежи орбитата на планетата.

Справочни данни

Маса на Слънцето: $2\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Маса на Юпитер: $2\cdot10^{27}\,\mathrm{kg}$ .

Гравитационна константа: $6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}$ .

фаза	V [m/s]	фаза	V [m/s]
0.034965	34.98	0.545934	-22.55
0.075414	42.39	0.565508	-31.72
0.090189	56.15	0.600567	-31.35
0.131038	58.66	0.633404	-41.45
0.174043	58.57	0.664894	-59.45
0.218487	60.48	0.699714	-47.39
0.244775	58.98	0.71818	-48.68
0.269385	54.78	0.750686	-57.54
0.300426	69.63	0.774374	-33.59
0.320709	50.86	0.798534	-38.98
0.432908	10.59	0.835579	-21.47
0.461655	-1.34	0.857435	-19.85
0.495319	0.7633	0.903097	-8.064
0.505721	-4.599	0.955721	11.46

Решение

Построяваме графика на изменението на лъчевата скорост на звездата с времето по данните от таблицата. Виждаме, че графиката има синусоидална форма и това показва, че орбитата на звездата около центъра на масите на системата звезда–планета е кръгова. Това се отнася естествено и за орбитата на планетата. От графиката определяме максималната величина на лъчевата скорост по абсолютна стойност:

v\approx56\,\mathrm{m/s}.

Това е всъщност действителната скорост, с която звездата се движи около центъра на масите C в системата звезда–планета. При решаването на задачата различните участници могат да получат леко различни стойности.

Оригинална графика на лъчевата скорост V спрямо орбиталната фаза.

Означаваме с $v_x$ скоростта на планетата около центъра на масите, а с $m$ – масата на планетата. Нека $r$ е разстоянието между планетата и звездата, а $r_M$ и $r_m$ са съответно разстоянията от звездата и планетата до центъра на масите. Очевидно:

r=r_M+r_m.

Съгласно третия закон на Кеплер:

\frac{r^3}{P^2}=\frac{\gamma(M+m)}{4\pi^2}.

Освен това:

r_M=r\frac{m}{M+m},

r=r_M\frac{m+M}{M}.

За период $P$ звездата описва около центъра на масите окръжност с радиус $r_M$ , чиято дължина е $2\pi r_M$ . Оттук получаваме:

r_M=\frac{vP}{2\pi},

r=\frac{vP}{2\pi}\cdot\frac{m+M}{M}.

Заместваме това в третия закон на Кеплер и намираме:

m=v\sqrt[3]{\frac{P(M+m)^2}{2\pi\gamma}}.

Оттук за пресмятане на масата на планетата ще се получи уравнение от трета степен. Но ние можем да избегнем това, като намерим приблизително решение. Отчитаме факта, че масата на планетата е много по-малка от масата на звездата. Тогава:

m\approx v\sqrt[3]{\frac{PM^2}{2\pi\gamma}},

m\approx0.9\times10^{27}\,\mathrm{kg}\approx0.46\text{ маси на Юпитер}.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

За построяване на графиката – 3 т.
За съобразяване, че орбитите са кръгови – 1 т.
За определяне на орбиталната скорост на звездата – 2 т.
За правилен подход при определянето на масата на планетата – 2 т.
За алгебрични преобразувания – 4 т.
За приемане на подходящо приближение – 2 т.
Краен резултат – 1 т.

Бележка към източника

В двете отпечатани формули за $r$ знаменателят е главно $M$ , въпреки предходното равенство $r_M=rm/(M+m)$ . Тази печатна несъгласуваност е запазена; крайният израз за $m$ е възпроизведен от оригинала.

Оригинал в Архива: a19-IV-praktST1.jpg · допълнителни данни: a19-IV-praktST2.jpg · допълнителни данни: a19-IV-praktST3.jpg · допълнителни данни: a19-IV-praktST4.jpg · допълнителни данни: a19-IV-praktST5.jpg · допълнителни данни: a19-IV-praktST6.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145020.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145030.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145041.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145057.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145105.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145124.jpg