Съдържание

НОА 2019, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Геометрично албедо

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

17 юли 2019 г.

Условие

Геометричното албедо $A$ на тяло в Слънчевата система е параметър, за който е в сила съотношението:

E=\frac{AP}{\pi r^2},

където $P$ е мощността, с която слънчевите лъчи осветяват тялото, а $E$ е осветеността, която отразените от тялото лъчи създават на разстояние $r$ в посока обратно към Слънцето. Повечето известни транснептунови обекти имат високи стойности на геометричното албедо (напр. Хаумея: 0.80, Ерида: 0.96). Нека приемем, че всички транснептунови обекти със звездна величина до $23.0\,\mathrm{mag}$ вече са открити. Нека разгледаме хипотетичен транснептунов обект на име X (който все още не е открит), с размери и маса като тези на Земята и геометрично албедо 0.90, който се движи по кръгова орбита около Слънцето.

а) На какво минимално разстояние (в AU) може да бъде обектът X от нас?

б) Наблюдаваме обекта X в близкия инфрачервен диапазон с космически телескоп с диаметър на главното огледало $D$ . Оценете минималната стойност на $D$ , при която можем да засечем обекта да се отмества спрямо звездите на две последователни 20-минутни експозиции.

в) Нека разгледаме обект Y, който се движи около Слънцето още по-далече от X по орбита с ексцентрицитет 0.40, има сферична форма и геометрично албедо 0.70. Наблюдаван от спътника си Z, обектът Y изглежда 900 пъти по-слаб от Слънцето, когато е в максимален блясък. Спътникът Z се движи по кръгова орбита с орбитален период $11.7^{\mathrm d}$ . Каква е средната плътност на обекта Y?

Решение

а) Минимално разстояние

Разглеждаме граничния случай, в който звездната величина на X е $m_X=23.0\,\mathrm{mag}$ .

Сравняваме я със слънцето (светимост $L$ ), гледано от Земята:

E_X=\frac{L}{4\pi(r+1\,\mathrm{AU})^2}\frac{\pi R^2A}{\pi r^2},

E_{\mathrm{SOL}}=\frac{L}{4\pi(1\,\mathrm{AU})^2}

са осветеностите от обекта X и от Слънцето.

m_X=m_{\mathrm{SOL}}-2.5\lg(E_X/E_{\mathrm{SOL}})=m_{\mathrm{SOL}}-2.5\lg\frac{A(1\,\mathrm{AU})^2R^2}{r^2(r+1)^2},

\frac{A^{1/2}(1\,\mathrm{AU})R}{r(r+1\,\mathrm{AU})}=10^{0.2\Delta m}.

Можем да решим квадратното уравнение или просто да приемем, че $1\,\mathrm{AU}\ll r$ и получаваме за минималното разстояние $r=600\,\mathrm{AU}$ .

б) Диаметър на огледалото

На $600\,\mathrm{AU}$ орбиталната скорост е много ниска и ъгловото отместване би било основно поради орбиталното движение на Земята, когато тя е в опозиция. Скоростта на земята е

v_E=29.8\,\mathrm{km/s}.

Ъгловата скорост на неподвижен обект на $600\,\mathrm{AU}$ поради това движение е

\omega=v_E/r.

За $t=20\,\mathrm{min}$ отместването е $\theta=\omega t=0.082''$ .

С космически телескоп разделителната способност ще е дифракционна. В близкия инфрачервен диапазон ( $\lambda\sim1\,\mathrm{\mu m}$ ) тя е:

\theta=1.22\lambda/D,

D=3\,\mathrm m

(до към $6\,\mathrm m$ при стойност $\lambda\sim2\,\mathrm{\mu m}$ ).

в) Средна плътност

Максимален блясък обект Y ще има в пълна фаза. Осветеностите, които Слънцето и обект Y създават на обект Z са съответно:

E_S=\frac{L}{4\pi r_Y^2},

E_Y=\frac{L}{4\pi r_Y^2}\frac{\pi R_Y^2A}{\pi r_Z^2}.

Дадено е $E_S/E_Y=900$ .

\frac{r_Z^2}{R_Y^2A}=900\Rightarrow r_Z^3=30^3A^{3/2}R_Y^3.

Ако орбиталният период на Z е $P_Z$ , а масата на Y е $M_Y$ , от III закон на Кеплер

\frac{r_Z^3}{P_Z^2}=\frac{GM_Y}{4\pi^2}.

Заместваме $r_Z^3$ и групираме:

\frac{4\pi^2 30^3A^{3/2}}{GP_Z^2}=\frac{M_Y}{R_Y^3}.

В същото време от дефиницията за средна плътност на кълбо

\frac{M_Y}{R_Y^3}=\frac43\pi\rho.

Заместваме и

\frac{4\pi^2 30^3A^{3/2}}{GP_Z^2}=\frac43\pi\rho.

Средната плътност е

\rho=\frac{3\pi30^3A^{3/2}}{GP_Z^2}=2.19\,\mathrm{g/cm^3}.

Бележки върху копието

Ръкописните оценки са 4 т. за а), 5 т. за б) и 6 т. за в); в условието няма отпечатани точки. Формулата за $m_X$ запазва отпечатаното $(r+1)^2$ , а следващият ред изписва $r+1\,\mathrm{AU}$ . Знакът на експонентата $0.2\Delta m$ и означенията са запазени от оригинала.

Оригинал в Архива: a19-IV-teorST1.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST2.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST3.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST4.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST5.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST6.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST7.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST8.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144821.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144834.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144852.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144902.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144916.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144932.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144945.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145009.jpg