НОА 2019, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Мистериозното слънце

а) Сивата планета

При отместване на $801\,\mathrm{km}$ на север от екватора, Сириус вече кулминира на 87 градуса. Следователно $801\,\mathrm{km}$ са 3 градуса планетографска ширина. Радиусът на планетата ще е

Ъгловият размер на луната от екватора е $\delta=57.6'$. При отместване с $801\,\mathrm{km}$ продължителността на окултацията намалява с 20%, т.е. хордата на окултацията (Сириус зад луната) е на 0.6 видими радиуса от центъра (Питагор). Това е ъгловият размер на отместването на центъра, т.е. паралакса на центъра на луната за $801\,\mathrm{km}$:

Разстоянието от екватора до луната е

Радиусът на луната е

Радиусът на орбитата на луната е

Затъмненията се случват на период, равен на синодичния, $T_{\mathrm{syn}}=5.1627\,\mathrm d$.

Луната обикаля около планетата за

От $r_L$ и $T_L$ по III закон на Кеплер намираме масата на планетата: $M_P=3.53$ земни маси.

Планетата е свръхземя, между Земята и Нептун на размери и маса.

б) Мистериозното слънце

Ако минем в отправна система, в която планетата е неподвижна, тя няма и околоосно въртене и само луната се движи около нея със синодичния си период. От факта, че фазите са еднакви на изгрев и залез следва, че Първа база е точно от обратната страна на планетата спрямо Мистериозното слънце.

В тази отправна система луната изминава по орбитата си един свой радиус за време

Ако ъгълът, под който лунната орбита се вижда от Мистериозното слънце, е $A$, то

Продължителността на пълната фаза е $T_{\mathrm{ecl}}=3.1691\,\mathrm h$. Пътят, който центърът на луната изминава по орбитата за нея е

Гледано от центъра на планетата централният ъгъл на сянката по орбитата е

Половината от проекцията на сянката в посока звездата е

Ако сме по-точни и използваме закривяването на орбитата с ъгъл $\theta$:

Резултатът е малко по-голям от радиуса на планетата, т.е. сянката е разходяща и Мистериозното слънце е по-малко. Може да се направи опит за оценка на размера му с построяване на схема на лунно затъмнение със слабо разходяща сянка. От отношенията в подобните триъгълници излиза, че разстоянието до проектирания връх на сянката (продължението ѝ от другата страна на Мистериозното слънце) е

От други подобни триъгълници радиусът на Мистериозното слънце е

но тази стойност е силно чувствителна от приближенията. При всички положения е от този порядък.

Масата на Мистериозното слънце излиза директно от III закон на Кеплер:

Мистериозното слънце, разбира се, е бяло джудже.

Версии и бележки в източника

Възпроизведена е пълната незачеркната „Решение (скица)“ от лист 5. Частично повторение е зачеркнато върху листове 4 и 6; в зачеркнатото продължение са отпечатани различните стойности $l=28280\,\mathrm{km}$, $(l+2R_L)/(2\pi r_L)=1.604\,\mathrm{deg}$ и $15475\,\mathrm{km}$. Те не са смесени с незачеркнатата версия.

Условието дава $3.1421\,\mathrm h$, а и двете версии на скицата използват $T_{\mathrm{ecl}}=3.1691\,\mathrm h$. Запазени са отпечатаните формули и числа, включително добавеното $R_L$ в $r_L$ и приближенията за разстояние и размер.

Ръкописните полеви оценки към пълната скица са 2 т. за началните разсъждения, 6 т. за а) и 7 т. за б). Това са бележки върху копието, а не отпечатани точки в условието.