Съдържание

НОА 2019, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Бяло джудже и мъглявина

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

17 юли 2019 г. · 15 т.

Условие

Бялото джудже Сириус B е недоволно от своя статут на второстепенна звезда спътник със скучна еволюция. Жадувайки за драматични преживявания, то някак си успява да се измъкне от гравитационното привличане на своя звезда-господарка и се отправя на далечно пътешествие. По пътя си среща мъглявина с плътност $10^{-9}\,\mathrm{kg/m^3}$ и ентусиазирано тръгва да се движи през нея с постоянна скорост от $100\,\mathrm{km/s}$ , като улавя космическите частици с мощната си гравитация.

Намерете след колко време масата на бялото джудже Сириус B ще достигне границата на Чандрасекар, ако се знае, че то не се върти около оста си и излъчването му не взаимодейства с частиците на мъглявината.

Началната маса на Сириус B е $1.02$ слънчеви маси, а радиусът му е $11\,700\,\mathrm{km}$ . Масата на Слънцето е $2\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Решение

Внимание: Непълно решение

Официалното решение е непълно.

Нека да преминем в отправна система, неподвижно свързана с бялото джудже. В нея частиците от мъглявината имат начални скорости равни на $V$ . Техните траектории спрямо бялото джудже представляват хиперболи, тъй като те имат положителна енергия (започват да падат от безкрайност с някаква скорост). За всяка частица можем да въведем „прицелен параметър $b$ “, като това е разстоянието между частицата в началото и правата на която лежи векторът на скоростта на бялото джудже (както е показано на схемата).

Частиците, които падат на повърхността на бялото джудже ще имат прицелен параметър, по-малък от някакъв максимален $b_{\max}$ . Тези, за които $b=b_{\max}$ ще се движат по хиперболи, чиито перицентрални разстояния са точно равни на $R$ . Те ще достигат повърхността на джуджето със скорост $u$ , която е допирателна към повърхността му.

Следователно, съгласно закона на запазване на момента на импулса и закона за запазване на енергията, записани в отправната система на бялото джудже:

mVb_{\max}=muR,

\frac{mV^2}{2}=\frac{mu^2}{2}-\frac{\gamma Mm}{R}\Rightarrow u=\sqrt{V^2+\frac{2\gamma Mm}{R}}=\sqrt{V^2+V_{II}^2}.

Замествайки израза за $u$ в първото уравнение:

b_{\max}=\sqrt{1+\frac{V_{II}^2}{V^2}}R.

Частиците, които падат върху бялото джудже преминават през кръг с радиус равен на $b_{\max}$ . Ако разгледаме времеви интервал $\Delta t$ , то техният обем е:

\Delta V=\pi b_{\max}^2V\Delta t,

а тяхната маса е:

\Delta m=\rho\Delta V=\rho\pi b_{\max}^2V\Delta t.

От тук намираме, че темпът с който масата на бялото джудже се увеличава е:

\frac{\Delta m}{\Delta t}=\rho\pi b_{\max}^2V=\rho\pi V\left(1+\frac{V_{II}^2}{V^2}\right)R^2\approx10^{13}\,\mathrm{kg/s}.

Границата на Чандрасекар е $1.42$ маси на Слънцето, т.е. докато бялото джудже трябва да натрупа още $0.4$ слънчеви маси или $8\cdot10^{29}\,\mathrm{kg}$ , докато я достигне. С този темп на увеличаване на масата това ще стане за около 266 милиона години.

Интересно е, че движейки се с такава скорост за толкова време бялото джудже ще измине разстояние около $90\,000\,\mathrm{ly}$ . Това е малко по-малко от размера на Млечния път.

Критерии за оценка (15 т.)

Правилна геометрична постановка на задачата (идея за съществуването на максимален прицелен параметър, траектория на частиците, преминаване в отправна система на бялото джудже…) – 3 т.
Правилно записани закони за запазване – 4 т.
Израз за максималния прицелен параметър – 2 т.
Правилно изразяване на обема и масата на падащото за единица време вещество – 2 т.
Правилен числен резултат за падащата маса за единица време – 2 т.
За намиране на времето за което джуджето ще достигне границата на Чандрасекар – 2 т.

Бележка към източника

В отпечатания израз за $u$ под корена е оставено $2\gamma Mm/R$ с допълнителното $m$ . Запазени са и отпечатаните $10^{13}\,\mathrm{kg/s}$ , 266 милиона години и $90\,000\,\mathrm{ly}$ , без преизчисляване на числените несъответствия.

Оригинал в Архива: a19-IV-teorST1.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST2.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST3.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST4.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST5.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST6.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST7.jpg · допълнителни данни: a19-IV-teorST8.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144821.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144834.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144852.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144902.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144916.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144932.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_144945.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145009.jpg