Съдържание

НОА 2019, IV кръг, Младша възраст — Задача 3. Ярки звезди

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

17 юли 2019 г. · 15 т.

Условие

Метеорната наблюдателка Дара не обича звездата Сириус – най-ярката звезда на небето, на разстояние $r=2.64\,\mathrm{pc}$ , с видима звездна величина $V=-1.46^{\mathrm m}$ . Сириус ѝ пречи да се адаптира към тъмнината и да види най-слабите метеори. Тя настоява пред своя тайнствен извънземен приятел Константин да отнесе надалеч в пространството досадната звезда. Понеже тренира усилено, той с лекота премества Сириус, но го докарва до родната си звезда Денеб ( $V=1.25^{\mathrm m}$ , $r=800\,\mathrm{pc}$ ) и двете звезди ни изглеждат като една обща звезда.

а) Ще бъде ли тази звезда по-ярка от Юпитер ( $V=-2.51$ )?. Пресметнете звездната ѝ величина при отсъствие на поглъщане в междузвездната среда. Коментирайте получения резултат.

б) Като смята, че е допуснал голямо недоразумение, Константин настанява по средата на пътя между Слънцето и Денеб космически облак от прах с дебелина $100\,\mathrm{pc}$ , който поглъща 30% от преминаващата през него светлина. После решава, че това не е достатъчно и настанява пред първия облак още един такъв облак. Какъв ще бъде общият процент светлина, погълнат по пътя от Денеб към нас?

в) Каква би била общата звездна величина на звездите в този случай?

г) Колко трябва да приближим звездите, за да се изравни общата им звездна величина с Юпитер?

Решение

Нека с индекс 1 означаваме разстоянието и звездните величини на Денеб, а с индекс 2 – на Сириус. Пренасяме Сириус на разстоянието на Денеб. Записваме за двете разстояния формулата за абсолютната звездна величина. Изразяваме $M_{V2}$ в една от формулите и за звездната величина на Сириус на разстоянието на Денеб получаваме:

V_{21}=V_2+5\lg\frac{r_1}{r_2}=10.937\approx10.94.

Където $V_{21}$ е звездната величина на Сириус на разстоянието на Денеб, $r_1=800\,\mathrm{pc}$ .

Виждаме, че звездната величина на Сириус на разстояние 800 pc е много голяма, почти 10 звездни величини по-голяма от звездната величина на Денеб. Това означава, че светимостта на Денеб във видимата област е почти 10000 пъти по-голяма от светимостта на Сириус.

Общата звездна величина $V_{1+2}$ на двете звезди е:

\begin{aligned}V_{1+2}&=V_1-2.5\lg\frac{E_1+E_{21}}{E_1}=V_1-2.5\lg\left(1+\frac{E_{21}}{E_1}\right)\\&=V_1-2.5\lg\left(1+10^{0.4(m_1-m_{21})}\right)=1.24986\approx1.25.\end{aligned}

Виждаме, че добавянето на Сириус към Денеб не оказва съществено влияние на това, което ще виждаме на небето. Общата звездна величина на двете звезди е практически равна на видимата звездна величина на Денеб.

Когато премине през първия облак светлината губи 0.3 част поради поглъщането. Остават 0.7 от нея. При преминаването през втория облак още веднъж се поглъщат 0.3 части от останалата светлина. След него остава $0.7\times0.7=0.49$ части от светлината. Погълнатата светлина е 51%. Следователно звездната величина нараства. Видимата звездна величина на системата след поглъщането в междузвездното пространство е:

V'_{1+2}=V_{1+2}+2.5\lg\left(\frac{E_{1+2}}{0.49\cdot E_{1+2}}\right)=2.0245\approx2.02.

Разликата в звездните величини на Юпитер и Денеб е много голяма – почти 4 звездни величини. Следователно може да очакваме, че разстоянието на което трябва да се приближат Денеб и Сириус е няколко пъти по-малко от 800 pc. Това означава, че облаците прах ще останат далеч зад тях и няма да повлияят на светлината идваща към наблюдателя. Затова, за разлика от случая, когато и източникът и наблюдателя са потопени в хомогенно разпределено междузвездно вещество, сега ще използваме неповлияната от поглъщането обща звездна величина на Денеб и Сириус.

Осветеностите от двете разстояния са обратно пропорционални на квадратите на разстоянията. Следователно за разликата в звездните величини може да запишем:

V_{1+2}-V_J=2.5\lg\frac{r_1^2}{r_{1J}^2}=5\lg\frac{r_1}{r_{1J}}.

Оттук пресмятаме разстоянието $r_{1J}$ на което трябва да се приближат Денеб и Сириус за имат звездната величина на Юпитер:

r_{1J}=10^{[\lg r_1-0.2(V_{1+2}-V_J)]}=141.6\,\mathrm{pc}.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

За пресмятане на звездната величина на Сириус на разстоянието на Денеб – 2 т.
За пресмятане на общата звездна величина на Сириус и Денеб и сравнение с Юпитер – 3 т.
За получаване на поглъщането в облаците – 2 т.
За получаване на общата звездна величина с поглъщане в облаците – 3 т.
За правилни съображения относно използването на неповлияната от поглъщането обща звездна величина на Денеб и Сириус – 2 т.
За получаване на разстоянието на което общата звездна величина на звездите е равна на звездната величина на Юпитер – 3 т.

Оригинал в Архива: IMG_20190719_145140.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145153.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145204.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145217.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145226.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145235.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145253.jpg