Съдържание

НОА 2019, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Алтаир и Забранената планета

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2019

17 юли 2019 г. · 15 т.

Условие

Звездата Алтаир е една от най-близките до Земята звезди. Годишният ѝ паралакс е $0.195''$ , видимата ѝ звездна величина е $+0.77\,\mathrm{mag}$ , спектралният ѝ клас е A7V, а нейната температура е $7900\,\mathrm{K}$ . При оценяване на параметрите на звездите от Главната последователност може да се използва следната зависимост между светимостта $L$ и масата $M$ : $L\sim M^{3.5}$ .

а) (8 т.)

Каква е средната плътност на Алтаир в $\mathrm{g/cm^3}$ ?

б) (7 т.)

В класическия научнофантастичен филм от 1956 г. „Забранената планета“ се описва как земляните изпращат през 23 век космическия кораб C-57D до четвъртата планета в системата на Алтаир.

До ден днешен още няма открити планети около Алтаир, но нека си представим една хипотетична планета, обикаляща по кръгова орбита около тази звезда. Много малката Забранена планета има много малка Забранена луна, която обикаля около нея по много голяма кръгова орбита, лежаща в орбиталната равнина на планетата около звездата. Жителите на Забранената планета редовно наблюдават пълни лунни затъмнения. Те установяват, че времето от първия до втория контакт на пълната фаза на лунното затъмнение е точно 1000 пъти по-малко от периода, през който се случват лунните затъмнения. От планетата се наблюдават и пълни слънчеви затъмнения на Алтаир от Забранената луна.

Какъв е минималният възможен орбитален период на Забранената планета около Алтаир (в земни години), ако знаете, че той е много по-голям от орбиталния период на малката луната?

Решение

а)

Разстоянието до Алтаир е $r[\mathrm{pc}]=1/\pi''=5.128\,\mathrm{pc}$ .

Абсолютната звездна величина е $\mu=m-(5\lg(r[\mathrm{pc}])-5)=2.22\,\mathrm{mag}$ .

Приемаме, че болометричната корекция за Алтаир (клас A7) е 0, тогава абсолютната болометрична величина е равна на абсолютната визуална величина и светимостта на Алтаир намираме като сравняваме със Слънцето (абсолютна болометрична величина 4.75):

L/L_{\mathrm{SOL}}=10^{0.4(\mu_{\mathrm{SOL}}-\mu)}=10.28.

За спектрален клас A7V е характерна температура $\sim7900\,\mathrm{K}$ (разумни са оценките от 7000 K до 9500 K). Радиусът намираме от закона на Стефан–Болцман:

L/L_{\mathrm{SOL}}=(R/R_{\mathrm{SOL}})^2(T/T_{\mathrm{SOL}})^4.

Фотосферната температура на Слънцето е 5770 K и

R=1.7R_{\mathrm{SOL}}.

Масата можем да оценим от дадената зависимост

M/M_{\mathrm{SOL}}=(L/L_{\mathrm{SOL}})^{1/3.5}=10.28^{1/3.5}=1.95.

Плътността е $\rho=3M/(4\pi R^3)=2.76\,\mathrm{g/cm^3}$ .

б)

При орбити в една равнина ще има централно затъмнение и за времето от 1 до 2 контакт ще важи

vt_{12}=2R_L.

$v$ е скоростта на луната по орбитата ѝ, а $R_L$ е радиусът ѝ.

За периода на лунните затъмнения $P$ важи

vP=2\pi r_L.

Разделяме почленно и

\pi(t_{12}/P)=R_L/r_L.

Ъгловият размер на луната, гледана от планетата (ако е много по-малка от орбитата на луната) е

\delta=2R_L/r_L=2\pi(t_{12}/P)=0.36^\circ.

Щом има пълни слънчеви затъмнения на планетата, ъгловият размер на звездата трябва да е максимално толкова. Минималното разстояние е $r_P$ :

\delta=2R/r_P,

r_P=2.517\,\mathrm{AU}.

От III Закон на Кеплер намираме търсения минимален период $P_P$

r_P^3/P_P^2=GM/(4\pi^2),

P_P=8.2\,\mathrm{yr}.

Бележки към сниманото решение

Числените резултати $\rho=2.76\,\mathrm{g/cm^3}$ и $P_P=8.2\,\mathrm{yr}$ са отпечатани така в източника и са запазени, въпреки че не следват от предходните дадени стойности.

В полетата има ръкописни оценки: за а) общо 8 т., разпределени в четири групи по 2 т.; за б) 1 т., 0,5 т., 0,5 т., 2 т., 2 т. и 1 т. Те са архивни ръкописни добавки към отпечатаното решение.

Оригинал в Архива: IMG_20190719_145140.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145153.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145204.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145217.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145226.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145235.jpg · допълнителни данни: IMG_20190719_145253.jpg