НОА 2020, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 4. Седемте сестри

• А) Плейона, Атлас, Меропа, Алциона, Електра, Калеано (Келено или Келайно – по-близо до оригиналното звучене), Майя (Мая - вариант), Тайгета и Астеропа (Стеропа – вариант на името, по-близък до оригиналното име).

• Б) Седемте сестри са нимфи – те са Меропа, Алциона, Електра, Калеано, Майя, Тайгета и Астеропа. Те са дъщери на океанидата Плейона и титана Атлас, които също са включени в Плеядите.

• В) $r_* = 2R_* = \frac{x}{\sqrt[3]{N}-1} \approx 7\ \mathrm{ly}$

  Разстоянието Атлас – Електра е $x = \varphi r \dfrac{\pi}{180^\circ} = 7.6$ ly. Средното разстояние до осемте най-близки до Слънцето звезди е около 7.5 ly, т.е. разстоянията са сравними. Критериите приемат числени резултати за средното разстояние от 4 ly до 8 ly. Плеядите са звезден куп, защото освен тези звезди към тях принадлежат и стотици други звезди, с по-малки маси и светимости.

• Г) Възрастта на Плеядите се оценява на около 115 милиона години. За това време всички мъглявини, останали от образуването на звездите, биха се разсеяли. Мъглявините, които се виждат около най-ярките звезди, не са свързани по произход с Плеядите – звездният куп случайно преминава през област, богата на разредени газови и прахови мъглявини.

Решение:

А) Имената на звездите са написани на снимката в приложенията. Те са Плейона, Атлас, Меропа, Алциона, Електра, Калеано (Келено или Келайно – по-близо до оригиналното звучене), Майя (Мая - вариант), Тайгета и Астеропа (Стеропа – вариант на името, по-близък до оригиналното име).

Б) Седемте сестри са нимфи – те са Меропа, Алциона, Електра, Калеано, Майя, Тайгета и Астеропа. Те са дъщери на океанидата Плейона и титана Атлас, които също са включени в Плеядите.

В) Измерваме разстоянието между Атлас и Електра в милиметри. Получаваме, че то е $d_0 = 153$ мм. Нека изразим ъгловото разстояние между Атлас и Електра в градуси:

Тогава разстоянието между звездите в светлинни години може да се представи по следния начин:

където $r$ е разстоянието от нас до звездния куп.

Трябва да се оцени средното разстояние между деветте ярки звезди в Плеядите. Разстоянието между Атлас и Електра ни дава някаква оценка за размера на пространствената област, в която се разполагат деветте звезди. Нека обаче, си представим, че тези звезди са само част от по-голямо количество звезди в по-голяма пространствена област. Тогава става ясно, че границите на областта не трябва плътно да описват групата звезди, а да преминават на определено разстояние от крайните звезди, което в най-добрия случай е равно на радиуса $R_*$ на малките сферични обеми, които приписваме на всяка една звезда. Следователно радиусът на сферичната област, която приписваме на групата от 9 звезди е:

Обемът на тази област:

Обемът съотвестващ на една звезда е:

където $N = 9$ е броят на звездите. Оттук получаваме, че:

Разстоянието между звездите $r_*$ е два пъти по-голямо от радиусите на сферичните обеми, приписани на всяка от звездите:

(Понеже броят на звездите е много малък и те не са разположени като компактна група е ясно, че оценката, която получихме за средното разстояние между звездите, е завишена. Все пак тя дава представа за разстоянията между най-ярките звезди в купа.)

Намираме информация за разстоянията до осемте най-близки до Слънцето звезди. Виждаме, че средното разстояние до тях е около 7.5 ly. Следователно разстоянията между най-ярките звезди в Плеядите е сравнимо с разстоянията между звездите в околностите на Слънчевата система. Плеядите са звезден куп, защото освен тези звезди, към тях принадлежат и стотици други звезди, с по-малки маси и светимости.

Г) Възрастта на Плеядите се оценява на около 115 милиона години. За това време всички мъглявини, останали от образуването на звездите, биха се разсеяли. Мъглявините, които се виждат около най-ярките звезди, не са свързани по произход с Плеядите. Звездният куп случайно преминава през област, богата на разредени газови и прахови мъглявини.

Възможни са и други методи за определяне на средните разстояния между ярките звезди в Плеядите. Примерно, може да се определи средната големина на проекцията на индивидуалните разстояния на звездите (примерно от Алциона до останаите звезди). И след това да се разсъждава как звездите са разпределени в пространството – на разстояние от централната равнина равно на средната проекция или на най-вероятното разстояние от нея. Всички тези методи следва да се приемат и да се оценяват с някакъв брой точки. Приемливи са числени резултати за средното разстояние от 4 ly до 8 ly.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

• За написване на имената върху снимката – 1 т.
• За посочване на имената на „седемте сестри“ – 1т.
• За разбиране, че наблюдаваме проекция на разстоянията между звездите – 2 т.
• За изграждане на смислен математически метод (модел) за оценка на разстоянията между звездите – 3т.
• За получаване на числен резултат в посочените граници – 1т.
• За намиране на информация за типичното разстояние между звездите в околностите на Слънчевата система и сравняване с него – 1т.
• За намиране на информация за възрастта на Плеядите и за връзката на мъглявините с купа – 1т.