НОА 2020, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 3. В открития космос

• Не. Точно един орбитален период по-късно средната точка на Черно море се е преместила на $r \approx 1853$ km на изток. При прелитане през перигея разстоянието до хоризонта е $d_1 \approx 1443$ km, т.е. средната точка на морето вече е извън видимия хоризонт и морето не се вижда изцяло; дори при прелитане през апогея ($d_2 \approx 2387$ km) средната точка остава на $d_2 - r = 534$ km от хоризонта, а най-източната част на Черно море, отстояща на около 623 km от средата на морето, остава малко извън хоризонта.

  Изчислено с $h_1 = 167$ km, $h_2 = 475$ km, $T = 90.9$ min, $\varphi = 43^\circ$ и $R = 6371$ km.

Решение:

Космическият кораб „Восход-2“ се е движил около Земята по орбита с перигей на височина $h_1 = 167$ км над земната повърхност, апогей на височина $h_2 = 475$ км и орбитален период $T = 90.9$ минути. Географската ширина на някаква средна точка от Черно море е около $\varphi = 43^\circ$. Ъгълът, на който се е завъртяла Земята за време $T$, ще бъде:

Нека да приемем, че в момента, отразен на картината, корабът се е намирал над точка от земната повърхност, която е, условно казано, в средата на Черно море. След един орбитален период на кораба Земята ще се е завъртяла на ъгъл $\alpha$ в източна посока. Тогава корабът ще прелети над някаква друга точка, която ще отстои на известно разстояние на запад от първата точка. Разстоянието ще бъде:

където $R = 6371$ km е радиусът на Земята.

Да пресметнем разстоянието до хоризонта за космонавтите, когато корабът се намира на височина $h$ над земната повърхност. Ъгълът, с който физическият хоризонт се понижава под математическия хоризонт, ще бъде:

Разстоянието от точката от земната повърхност, над която се намира корабът, до хоризонта ще бъде:

Ние не знаем в коя точка от елиптичната си орбита се е намирал космическият кораб в разглежданите моменти, затова ще пресметнем разстоянието $d$ за двата екстремални случая – когато корабът е в перигей и в апогей. Съответно за двата случая получаваме:

Един орбитален период на кораба след момента, отразен на картината, средната точка на Черно море ще се е преместила с 1853 км на изток. Това разстояние е по-голямо от разстоянието $d_1$. Следователно въпросната средна точка ще бъде извън видимия хоризонт на кораба и космонавтите няма да виждат изцяло Черно море. Ако корабът е в апогей, то средната точка от Черно море ще бъде все още в рамките на видимия хоризонт на кораба. По-точно, тя ще се намира на разстояние $d_2 - r = 534$ km от хоризонта. Справка с географската карта или с GoogleEarth ни показва обаче, че най-източната точка на Черно море се намира на около 623 км от средата на морето. Следователно най-източната част от Черно море все пак ще е малко извън хоризонта.

Така стигаме до окончателния извод, че във втория момент от време космонавтите няма да виждат цялото Черно море от борда на космическия кораб, на каквато и височина да се намира той от земната повърхност по своята орбита.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

• За намиране на необходимите числени данни – 2 т.
• За правилен метод на разсъждение и пресмятания – 6 т.
• За вярно крайно заключение – 2 т.

Забележка: Участникът може да е пресметнал първо дали Черно море ще се вижда изцяло в случая на прелитане на кораба през апогея и да е стигнал до правилния извод. Ако в резултат на това е обяснил, че не е нужно да се правят пресмятания за по-неблагоприятния случай на прелитане през перигея, то решението да се счита за пълно и вярно.