НОА 2020, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 2. Галактики

• А) $\Delta = \Delta_1\frac{r_1}{r} = \frac{2a}{d}\cdot\varphi\cdot\frac{r_1}{r} \approx 13^\circ$

  Около 3.6 пъти по-голям от видимия ъглов размер на М31 за земен наблюдател. Линейното разстояние между двете галактики е $r \approx 0.703 \times 10^{6}$ ly.

• Б) $\frac{b}{a} = \sin j_1 = \sin 82.7^\circ \approx 0.99$

  Реализира се вторият случай ($j_1 = \alpha - j = 82.7^\circ$), тъй като по-близката до нас страна на М31 е онази, която е в посока към М33. В първия случай ($j_1 = 180^\circ - \alpha - j = 66.3^\circ$) съотношението би било 0.92. Наблюдателят от М33 вижда М31 практически „в анфас“.

Решение:

Означаваме с $r_1$ и $r_2$ разстоянията от нас до галактиките М31 и М33, с $r$ линейното разстояние между двете галактики и с $\varphi$ видимото ъглово разстояние между тях. От косинусовата теорема намираме:

Изображението на галактиката М31 представлява елипса – това е проекцията на галактиката в равнината на снимката. Да означим с $a$ и $b$ голямата и малката полуос на тази елипса. Нека $j$ да бъде ъгълът между галактичната равнина на М31 и зрителния лъч от земния наблюдател.

Измерваме върху снимката и получаваме:

Измерваме разстоянието между центровете на М31 и М33 на снимката и получаваме $d = 122$ мм. Като знаем, че видимото ъглово разстояние мужду двете галактики е $\varphi = 14^\circ 46'$, можем да намерим мащаба на снимката. Чрез него намираме видимия ъглов размер на галактиката М31 за земния наблюдател:

За видимия ъглов размер на М31, наблюдаван от М33, можем да напишем:

От галактиката М33 наблюдателят ще вижда М31 с около 3.6 пъти по-голям ъглов размер, отколкото е нейният видими ъглов размер за земен наблюдател.

Трябва да определим ъгъла $j_1$, който сключва галактичната равнина на М31 със зрителния лъч за наблюдател, намиращ се в М33. Приемаме, че голямата ос на елиптичното изображение на М31 е перпендикулярна на посоката от центъра на изображението на М31 към центъра на изображението на галактиката М33 върху снимката. Тъй като не знаем как точно галактиката М31 е наклонена спрямо зрителния лъч към нас, т.е. коя е по-близката до нас половина от нейния галактичен диск, то са възможни два случая:

Първо ще намерим ъгъла $\alpha$. Използваме синусовата теорема:

При определянето на ъгъла $\alpha$ трябва да имаме предвид, че разстоянието до М33 е по-голямо от разстоянието до М31 и ъгълът $\varphi$ е малък. Следователно ъгълът при М31 е по-голям от $90^\circ$. Синусите на ъглите $81.8^\circ$ и $98.2^\circ$ са еднакви, но ние трябва да изберем ъгъла, който е по-голям от $90^\circ$.

В първия случай:

Във втория случай:

Галактиката М31 ще изглежда за наблюдател в М33 като елипса с отношение на малката ос към голямата ос, равно на $\sin j_1$ . В първия случай това съотношение ще бъде 0.92, а във втория случай 0.99.

Да разгледаме обаче, една по-добра снимка на М31:

Тъмните ивици от междузвездно вещество от долната страна на галактиката минават пред нейната ярка централна част. Така се убеждаваме, че тази страна на галактиката е по-близката до нас. Като сравним с по-горната снимка стигаме до извода, че по-близката до нас страна на М31 е онази, която е в посока към М33. Следователно е реализиран вторият случай.

Не може да се постигне особена точност при пресмятането на тези съотношения, още повече като се има предвид нашето приблизително приемане, че голямата ос на изображението на М31 е перпендикулярна на линията М31 – М33 на снимката (отклонението е около $8^\circ$-$9^\circ$). Така или иначе, наблюдателят от М33 ще може да се любува на всеки детайл от галактиката М31, обърната практически „в анфас“ към него, като тя ще изглежда така:

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

• За измервания върху снимката и правилен начин на определяне на видимия ъглов размер на М31 от М33 – 3 т.
• За правилен числен отговор – 1 т.
• За измервания и правилен метод за определяне на съотношението на осите на изображението на М31, което ще се вижда от наблюдател, намиращ се в М33 – 5 т.
• За правилен числен отговор и рисунка – 1 т.

Забележка: Ако отговорът на второто подусловие е получен без да се определи коя страна на М31 е действително по-близката до нас, оценката се намалява с 1 т. При измерванията поради размитите граници на галактиката М31 участниците ще получат резултати, които са леко различни от представените тук. При правилни разсъждения и пресмятания тези решения следва да се считат за верни.