Съдържание

НОА 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Пътят към звездите

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 16 февруари 2020 г. · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

След задача 5 темата отпечатва блок „Справочни данни“, който важи за всички задачи: Маса на Слънцето – 1.989 × 10³⁰ kg; Маса на Юпитер – 1.9 × 10²⁷ kg; Маса на Сатурн – 0.57 × 10²⁷ kg; Радиус на орбитата на Юпитер – 0.779 × 10⁹ km; Радиус на орбитата на Сатурн – 1.434 × 10⁹ km; Астрономическа единица – 149.6 × 10⁶ km; Площ на елипса с голяма и малка полуоси p и q: S = πpq.

Условие

Най-после е създаден кораб за междузвездни пътувания, както и метод за забавяне на физиологичните процеси в организмите на космонавтите, така че те да пътуват десетилетия без да остаряват съществено. Корабът е изстрелян към желаната цел и скоро достига крейсерската си скорост от $19.5{\times}10^{3}$ km/s. При тази висока скорост са съществени последствията от триенето с междузвездната среда, но те се преодоляват със специален щит и система за защита от космическите лъчи.

А) Радиопредавателят на кораба е настроен на честотата за далечна космическа връзка 32000 MHz. След достигането на крейсерската скорост, екипажът на кораба изпраща музикален поздрав до жителите на Земята – Токата и фуга в ре минор от Йохан Себастиан Бах. Продължителността на музикалното произведение е $8^m33^s$ . Каква ще бъде неговата продължителност по време на приемането му на Земята и на каква честота е настроен земният радиоприемник?

Б) Аблационният топлинен щит (щит, който предпазва от прегряване посредством изпарение на специални вещества, наслоени по подходящ начин пред кораба) е с дебелина 12.18 m. Всеки ден от щита се изпарява слой с дебелина 0.5 mm. На какво разстояние е крайната цел на космичесткото пътешествие и коя е тя? Приемете, че щитът е пресметнат за еднопосочно пътуване.

В) Съпротивлението на междузвездната среда се компенсира точно с постоянна работа на системата от йонни двигатели на кораба. Дали космонавтите в кораба са в безтегловност и дали носещата конструкция на кораба е в безтегловност?

При решаването на задачата не отчитайте ефектите от Специалната теория на относителността и от движението на Земята около Слънцето.

Отговори

Решение

Решение:

За да пресметнем колко дълго ще продължи приемането на музикалния поздрав на Земята, трябва към стандартната продължителност на произведението да добавим светлинното време за разстоянието, което корабът е изминал, докато е траело изпращането на поздрава. Нека стандартната продължителност е $\Delta t_0 = 8^m33^s$ = 513 s. Корабът се движи със скорост v = 19500 km/s. За време $\Delta t_0$ корабът ще измине разстояние $\Delta$ x = $\Delta t_0$ ·v = 10003500 km. Светлинното време за това разстояние е равно на времето, което е необходимо на светлината да го измине $\Delta t_c$ = $\Delta$ x/c, където c е скоростта на светлината (c = 300000 km/s). Получаваме, че $\Delta t_c$ = 33.345 s. Времетраенето на Земята ще бъде $\Delta t = \Delta t_0 + \Delta t_c$ = 546.345 s $\approx$ 546 s.

Поради движението на кораба ще се наблюдава ефект на Доплер. Лесно може да го преформулираме за честота. Знаем, че връзката между дължината на вълната, честотата и скоростта на светлината е:

c = \lambda\nu

Следователно:

\lambda = \frac{c}{\nu}

където $\nu$ е честотата на вълната, а $\lambda$ е дължината на вълната. Формулата, произтичаща от ефекта на Доплер за дължината на вълната, може да се запише така:

\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{v}{c}

Оттук следва:

\lambda = \lambda_0\left(1 + \frac{v}{c}\right)

Заместваме дължината на вълната, като използваме изразяването ѝ чрез честотата и скоростта на светлината и получаваме подобен израз за честотата:

\nu = \nu_0\,\frac{1}{\left(1 + \dfrac{v}{c}\right)} = 30046.95\ \text{MHz} \approx 30047\ \text{MHz}

където $\nu_0$ = 32000 MHz е стандартната честота на излъчване на сигнала от космическият кораб, а $\nu \approx$ 30047 MHz е честотата на сигнала, на която ще се приема съобщението от кораба на Земята.

Дебелината на аблационния щит е d = 12180 mm. Скоростта на изпарение на щита е $\Delta$ d = 0.5 mm/d (милиметра на денонощие). Следователно щитът ще се изпари след време:

t = \frac{d}{\Delta d} = \frac{12180\ \text{mm}}{0.5\ \text{mm/d}} = 24360\ \text{d} = 66.7\ \text{години}

За това време корабът ще измине разстояние r = v·t = $4.104{\times}10^{13}$ km = 1.33 pc. На такова разстояние се намират двете компоненти на $\alpha$ Cen A и B. Малко по-близо, на 1.30 pc, се намира третата компонента $\alpha$ Cen – Проксима. Всяка една от звездите може да бъде достигната от изпратената експедиция.

Понеже силите на триене и силата на йонните двигатели се компенсират напълно, то те не оказват влияние върху движението на кораба, макар и да създават напрежение в конструкцията. Всичко на кораба, корпусът, носещата конструкция, космонавтите се движат единствено под действие на силите на привличане на космическите тела и следователно се намират в безтегловност.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За пресмятане на продължителността на поздрава, при приемането му на Земята – 2т.

За правилен подход при пресмятането на приеманата на Земята честота на сигнала – 3т.

За верен числен резултат – 1т.

За правилен метод при пресмятане на времето за пълно изпарение на аблационния щит – 2т.

За верен числен резултат – 1т.

За правилен коментар относно възможните цели на експедицията – 1т.

За правилен коментар относно състоянието на безтегловност на кораба, независимо от работещите двигатели – 2т.

Оригинал в Архива: NOA2_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2020_11-12solutions.pdf