Съдържание

НОА 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Астрометрия на Слънцето

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 16 февруари 2020 г. · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

След задача 5 темата отпечатва блок „Справочни данни“, който важи за всички задачи: Маса на Слънцето – 1.989 × 10³⁰ kg; Маса на Юпитер – 1.9 × 10²⁷ kg; Маса на Сатурн – 0.57 × 10²⁷ kg; Радиус на орбитата на Юпитер – 0.779 × 10⁹ km; Радиус на орбитата на Сатурн – 1.434 × 10⁹ km; Астрономическа единица – 149.6 × 10⁶ km; Площ на елипса с голяма и малка полуоси p и q: S = πpq.

Условие

Астрометричният метод е един от най-старите методи, използвани за търсене на планети около други звезди. Основава се на измерване на малките движения, които една звезда би извършвала под действие на гравитацията на планетите около нея.

А) На схемата е дадена траекторията на центъра на Слънцето около центъра на масите на Слънчевата система. Като приемете, че това движение се дължи главно на гравитационното въздействие на Юпитер и Сатурн, оценете размера на описваната от центъра на Слънцето област в километри. С какви познати астрономически размери бихте я сравнили?

Б) Разумни същества от планета около звезда, отдалечена на 10 парсека от нас, изучават Слънцето. Звездата е подходящо разположена близо до единия от нашите еклиптични полюси. Какъв трябва да бъде минималният диаметър на техния телескоп, за да открият присъствието на планети около Слънцето по този астрометричен метод? Допускаме, че съществата извършват наблюдения във видима светлина ( $\lambda$ = 550 nm).

Отговори

Решение

Решение:

Най-голямо отклонение на центъра на Слънцето от центъра на масите C на Слънчевата система ще се получава, когато Юпитер и Сатурн се намират от една и съща страна на Слънцето и са на една права линия с неговия център.

Слънцето, центърът на масите C, Юпитер и Сатурн на една права; означения на разстоянията $r_c$, $r_j$ и $r_s$. — Слънцето, центърът на масите C, Юпитер и Сатурн на една права; означения на разстоянията $r_c$ , $r_j$ и $r_s$ .

Означаваме с $r_j$ и $r_s$ радиусите на орбитите на Юпитер и Сатурн около Слънцето, а с $r_c$ разстоянието от центъра на масите на системата до центъра на Слънцето. Нека $M_j$ , $M_s$ и $M_0$ са масите съответно на Юпитер, Сатурн и Слънцето. В сила е следното съотношение:

M_0 r_c = M_j\left(r_j - r_c\right) + M_s\left(r_s - r_c\right)

r_c = \frac{M_j r_j + M_s r_s}{M_0 + M_j + M_s}

r_c \approx 1.15\times10^{6}\ \text{km}

Тази величина може да се приеме като оценка за радиуса на областта, описвана от центъра на Слънцето около центъра на масите на Слънчевата система. Следователно размерът, или даметърът на тази област, ще бъде:

d = 2r_c \approx 2.3\times10^{6}\ \text{km}

Този размер е сравним с диаметъра на Слънцето, който е около $1.4{\times}10^{6}$ км.

От разстояние $r = 10\ \text{pc}$ видимият ъглов размер на описваната от центъра на Слънцето област ще бъде:

\delta = \frac{d}{r}

В тази формула ъгълът $\delta$ се изразява в радиани, а величините d и r са в еднакви мерни единици. Можем да използваме ъгъла $\delta$ като мярка за разделителната способност на телескопа, с който извънземните астрономи биха регистрирали движението на Слънцето около центъра на масите и биха открили присъствието на планети около него. Минималния диаметър на телескопа D намираме от равенството:

\delta = \frac{1.22\lambda}{D}

D = \frac{1.22\lambda r}{d}

D \approx 90.26\ \text{m}

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен метод за определяне на размера на областта, описвана от центъра на Слънцето – 5 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За сравняване с познати астрономически размери – 1 т.

За правилен метод за определяне на минималния диаметър на телескопа – 4 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2020_11-12solutions.pdf