НОА 2020, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5. Юпитер и Сатурн

• А) Схема с три концентрични орбити: Земята, Юпитер и Сатурн са колинеарни със Слънцето (Земята между Слънцето и планетата) съответно в момента на опозицията на Юпитер ($T_1$, $J_1$, $S_1$) и в момента на опозицията на Сатурн ($T_2$, $J_2$, $S_2$).

• Б) $\Delta t_1 = \Delta t\cdot\frac{T_J - T_T}{T_S - T_J}\cdot\frac{T_S}{T_T} \approx 120.72\ \text{дни}$

  Опозицията настъпва $\Delta t_1 \approx 120.72$ денонощия след 20 юли, $23^{\mathrm{h}}53^{\mathrm{m}}$ UT.

Решение:

На схемата с $T_1$, $J_1$ и $S_1$ са показани положенията съответно на Земята, Юпитер и Сатурн на 14 юли, когато Юпитер е в опозиция, а с $T_2$, $J_2$ и $S_2$ – положенията на трите планети на 20 юли, когато Сатурн е в опозиция.

Първо нека определим интервала от време между момента на опозицията на Юпитер и опозицията на Сатурн:

Да означим с $T_T$, $T_J$ и $T_S$ орбиталните периоди на Земята, Юпитер и Сатурн. Ъгълът, който Земята изминава по своята орбита за времето между опозицията на Юпитер и опозицията на Сатурн, ще бъде:

Ъгълът, който Юпитер изминава за същото време, ще бъде:

За да настъпи опозиция на Сатурн за наблюдател от Юпитер, трябва Юпитер да „настигне” Сатурн, изминавайки по своята орбита ъгъл $\gamma = \alpha - \beta$, относно координатна система с основна ос Слънце – Сатурн. Намираме ъгъла $\gamma$ от горните две уравнения:

Тук се разглежда относително придвижване на Юпитер спрямо Сатурн, следователно времето, за което Юпитер ще измине ъгъла $\gamma$, ще бъде:

където $T'$ е синодичният период на Юпитер относно Сатурн, или което е все едно, синодичният период на Сатурн относно Юпитер. За този период можем да напишем:

Накрая получаваме:

Най-близката опозиция на Сатрун за наблюдател от Юпитер ще се случи 120.72 денонощия след 20 юли, $23^{\mathrm{h}}53^{\mathrm{m}}$ UT. Можем да определим и датата:

Като се има предвид, че опозицията на Сатурн за Земята е настъпила само 7 минути преди полунощ на 20 срещу 21 юли, то следва да заключим, че опозицията на Сатурн за Юпитер ще бъде на 18 ноември 2020 г.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилно представяне на схемата с положенията на планетите в двата момента – 4 т.
• За пресмятане на интервала от време между опозицията на Юпитер и опозицията на Сатурн за Земята – 1 т.
• За правилен математически метод за определяне на момента на опозиция на Сатурн за наблюдател от Юпитер – 4 т.
• За получаване на формули и числени пресмятания – 2 т.
• За определяне на датата на опозицията на Сатурн за наблюдател от Юпитер – 1 т.