НОА 2020, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Луна в перигей и апогей

• А) В перигей Луната е най-близо до Земята, а в апогей – най-далече.

  Разстоянията се броят до центъра на Земята.

• Б) $\Delta r \approx 50\,424\ \text{km}$

  От измерените диаметри $\delta_1 = 53$ mm и $\delta_2 = 60.5$ mm се получават $r_1 \approx 406652$ km и $r_2 \approx 356228$ km. В решението е отбелязано, че поради неизвестните обстоятелства на снимките е разумно да се каже „приблизително около 50 000 km“.

• В) В началото на юли, когато Земята минава през перихелия на орбитата си, ако Луната е в пълнолуние, в перигей и в зенита за наблюдателя.

  Луната трябва да е максимално близо както до наблюдателя, така и до Слънцето, което я осветява.

Решение:

Най-близката до Земята точка от елиптичната орбита на Луната се нарича перигей, а най-далечната – апогей. Също така се наричат съответно най-близката и най-далечната до Земята точки от орбитата на всяко тяло, което се движи по елиптична орбита около нея. Когато се говори за най-близка и най-далечна точка, винаги се има предвид разстоянието до центъра на Земята, а не до земната повърхност, която има своите особености във формата и релефа.

Означаваме с $r_1$ и $r_2$ съответно най-далечното и най-близкото разстояние до Луната. Измерваме диаметрите на двете изображения на Луната в милиметри и получаваме:

Първи начин:

Тези диаметри са пропорционални на видимите ъглови диаметри на Луната в двата случая. Тъй като разстоянието до Луната е много по-голямо от нейния диаметър може да приемем, че видимият ѝ ъглов размер е обратно пропорционален на моментното разстояние до нея. Тогава:

Дадено ни е средното аритметично от тези две разстояния. За него можем да напишем:

От последните две равенства намираме:

Втори начин: Отношението на промяната на разстоянието до Луната към самото разстояние може да се приеме за равно по абсолютна стойност на отношението на промяната на видимия ѝ ъглов диаметър към самия видим ъглов диаметър:

където $\Delta\delta = \delta_2 - \delta_1$, а $\delta = (\delta_1 + \delta_2)/2$. Оттук получаваме:

Разбира се, трябва да имаме предвид, че ние нямаме информация за обстоятелствата, при коита са заснети дадените изображения. Може Луната да е била на различна височина над хоризонта, при получаването на снимките. Теоретично е възможно неопределеността в разстоянието да достигне до един земен радиус, т.е. 6378 km. Но по-вероятно е да бъде в границите на 2-3 хиляди километра. Следователно за разликата в разстоянията е разумно да кажем, че е приблизително около 50 000 km.

За да бъде Луната максимално ярка, тя трябва да е максимално близо както до наблюдателя, така и до Слънцето, което я осветява. Луната в пълнолуние е максимално близо до Слънцето, когато и Земята е максимално близо до Слънцето. Това се случва в началото на юли, когато Земята преминава през перихелия на своята орбита. Ако тогава Луната е в пълнолуние и е в перигей, който е максимално близък до Земята, и освен това е в зенита за наблюдателя, то тя ще е максимално ярка.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За правилен отговор в кои точки Луната е най-близо и най-далече – 2 т.
• За правилна математическа постановка на задачата за разликата в разстоянията в апогей и перигей – 5 т.
• За верен числен отговор – 1т.
• За правилно посочване, че Луната ще е най-ярка, когато Земята по своята орбита е най-близо до Слънцето – 1 т.
• За посочване, че това се случва в началото на юли – 1т.
• За посочване на обстоятелството, че Луната трябва да е в перигей и в зенита за наблюдателя – 2 т.