НОА 2020, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Марсиански луни

• А) Деймос изгрява от изток и залязва на запад (орбиталният му период е по-дълъг от околоосното въртене на Марс); Фобос изгрява от запад и залязва на изток (периодът му е по-кратък от околоосното въртене на Марс).

• Б) $T' = \frac{T_P T_D}{T_D - T_P} \approx 10.25\ \mathrm{h}$

• В) $\gamma = \beta - \alpha = 28.2^\circ$

  Точката се намира на запад от обсерваторията. В решението разстоянието е дадено по планетографска ДЪЛЖИНА – в условието е отпечатано „ширина“ (вж. бележките към транскрипцията).

Решение:

По принцип можем да приемем, че посоката, в която се върти една планета около оста си, ще наричаме изток. Въртенето на Марс около неговата ос става от запад на изток. Следователно за наблюдателя на марсианската повърхност видимото движение на сферата на неподвижните звезди ще става от изток на запад. Двата спътника се движат около планетата в същата посока, в която тя се върти около оста си. Деймос обикаля около Марс за по-дълъг период от периода на околоосно въртене на Марс. Следователно за марсианския наблюдател този спътник ще изостава от точките по повърхността на планетата, така че ще изгрява от изток и ще залязва на запад. Но той ще изостава от видимото денонощно въртене на звездното небе и неговите изгреви ще стават през период от време по-дълъг от марсианското звездно денонощие. Спътникът Фобос има много кратък орбитален период – по-кратък от периода на околоосното въртене на Марс. При своето орбитално движение от запад на изток той ще изпреварва точките от марсианската повърхност. Това означава, че за марсианския наблюдател той ще изгрява от запад и ще залязва на изток.

На схемата с $A_1$ сме означили местоположението на марсианската обсерватория „Аелита“ в първия момент, когато спътниците Фобос ($P_1$) и Деймос ($D_1$) са едновременно в зенита за дежурния астроном. Нека $T_M$ да бъде периодът на околоосно въртене на Марс, а $T_P$ и $T_D$ да бъдат орбиталните периоди на Фобос и Деймос. Максималните сближавания между двата марсиански спътника се случват, когато те са от една и съща страна на планетата и на една права линия с нейния център. Това става през период $T'$, за който можем да използваме формула подобна на формулата, по която пресмятаме синодичните периоди на планетите:

За време $T'$ спътникът Деймос ще измине определен ъгъл от своята орбита, който ще бъде:

Фобос ще направи една пълна обиколка около Марс плюс известна част от следващата си обиколка и двата спътника отново ще бъдат на една права линия с центъра на планетата – в точките $D_2$ и $P_2$. За същото това време $T'$ самият Марс ще се завърти на ъгъл $\beta$, който също можем да определим:

Тъй като $\beta > \alpha$, обсерваторията „Аелита“ ще се окаже в точка $А_2$ и новата точка Х, над която двата марсиански спътника ще се виждат едновременно в зенита, ще се окаже на запад от обсерваторията. Разстоянието по планетографска дължина между точките $А_2$ и Х ще бъде:

Критерии заоценяване (общо 15 т.):

• За правилно посочване на посоките на изгрева на Фобос и Деймос и обяснение – 3 т.
• За правилно определяне на периода, през който стават максималните есближавания между двата спътника – 3 т.
• За правилен метод за определяне на новото положение на спътниците при следващото им максимално сближаване – 3 т.
• За отчитане на завъртането на Марс и определяне на новата ориентация на обсерваторията – 2 т.
• За правилно определяне на отстоянието на обсерваторията от точката, над която спътниците са в зенита – 2 т.
• За правилно посочване на посоката от обсерваторията към точката, над която спътниците са в зенита – 2 т.