НОА 2020, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Ъглови диаметри

• А) Кривата с най-голяма амплитуда (максимуми около $60''$, повтарящи се през около 1 година и 7 месеца) е на Венера; втората по височина крива (максимуми около $45''$, повтарящи се през около 13 месеца) е на Юпитер.

• Б) $r_V = 96{\times}10^6$ km и $r_J = 687{\times}10^6$ km (от измерените $\rho'_V = 26''$ и $\rho'_J = 42''$). km

  Измерените по диаграмата ъглови диаметри на 1 ноември 2020 г. са $26''$ за Венера и $42''$ за Юпитер.

• В) След построяването се получават по две пресечни точки за всяка планета. Венера е подминала горно съединение, но още не е достигнала долно – тя е в точка 1; Земята е отминала опозицията с Юпитер, така че и Юпитер е в точката, означена с 1.

Решение:

А) От таблицата виждаме, че Венера е планетата, която преминава най-близо до Земята. Разстоянието до Венера в долно съединение е $\Delta r_{EV} = r_E - r_V = 40.7{\times}10^6$ км, където $r_E$ е радиусът на орбитата на Земята, а $r_V$ е радиусът на орбитата на Венера. Дори Марс във велико противостоене е на разстояние над 55 милиона километра. Освен това той е почти два пъти по-малък от Венера. Следователно може да очакваме, че Венера има по-големи ъглови размери, когато се намира близо до долно съединение, между Земята и Слънцето. Нека пресметнем ъгловите размери на Венера, когато тя е най-близо до Земята:

Коефициентът, равен на 206265, се използва за превръщане на ъгловия размер на планетатата от радиани в дъгови секунди. На диаграмата с видимите размери има само една планета, която в определени моменти от време има подобни ъглови размери (Фиг. 1. Към решението на Задача 3.). Виждаме, че нейните ъглови размери се променят около 6 пъти. Наистина, разстоянието до Венера в горно съединение е $\Delta r_{VE} = r_E + r_V = 258.5{\times}10^6$ км, което е повече от 6 пъти по-голямо от разстоянието до Венера в долно съединение. Следователно в горно съединение ъгловите размери на Венера ще са около 6 пъти по-малки. Малките разлики в стойностите се дължат на негласното допускане в условието и таблицата, че орбитите на Земята и Венера са кръгови и лежат в една равнина. Следователно графиката с най-голяма амплитуда принадлежи на Венера.

До този извод може да стигнем и като пресметнем синодичния период на Венера:

Намираме моментите на максимумите на кривата с най-голямата амплитуда. Виждаме, че те се случват в началото на юни 2019 година и началото на януари 2021 година. Интервалът от време между двата момента е приблизително равен на 1 година и 7 месеца. Следователно това е кривата на видимия ъглов диаметър на Венера.

Всеки от методите е достатъчен за да се определи на коя планета принадлежи съответната крива. Достатъчно е да се приложи един от тях.

Юпитер е най-голямата по размери планета. Затова предполагаме, че той също ще има големи видими ъглови размери. Нека пресметнем ъгловите му размери в опозиция. Използваме формула (1), но понеже Юпитер е външна планета, разменяме местата във формулата на радиусите на орбитите на Земята и планетата. Получаваме, че видимият ъглов диаметър на Юпитер в опозиция е:

Виждаме, че максималните стойности на вълните на втората по височина графика са приблизително равни на получените ъглови размери на Юпитер. Освен това тези максимуми се случват през около 13 месеца. Периодът на Юпитер, при движението му около Слънцето, е около 12 години. Следователно опозициите ще се случват приблизително през 13 месеца, което ние наблюдаваме при тази крива. Очевидно това е графиката на промяната на видимите ъглови размери на Юпитер (Фиг. 1. Към решението на Задача 3.).

Б) На дадената диаграма построяваме вертикална линия, съответстваща на датата 01.11.2020 година (Фиг. 1. Към решението на Задача 3.). Отбелязваме точките на пресичане на линията с графиките на промяна на видимите ъглови размери на Венера и Юпитер. През точките построяваме хоризонтални линии до пресичането им с ординатната ос. Ординатната ос е разграфена от 0 до 70 дъгови секунди. Измерваме дължината ѝ в милиметри. Получаваме точно 90 мм. Следователно мащабът на ординатната ос е $k' = 70 / 90 = 0.777\ ''\!/\mathrm{mm}$ (дъгови секунди на милиметър). Измерваме в милиметри разстоянието до пресечните точки и умножаваме по мащаба. За Венера получаваме, че ъгловият ѝ диаметър на 1 ноември 2020 година е $\rho'_V = 26''$. За Юпитер получаваме $\rho'_J = 42''$. За пресмятане на разстоянията използваме вариант на формула (1), в която в знаменателя е търсеното разстояние до планетата и решаваме уравнението относно него:

Използвайки тази формула и измерените по графиката видими ъглови размери за Венера получваме разстоянието $r_V = 96{\times}10^6$ km, а за Юпитер – $r_J = 687{\times}10^6$ km.

В) Построяваме орбитите на Венера, Земята и Юпитер с посочените в условието размери. В същия мащаб определяме в милиметри разстоянията от Земята до Венера и Юпитер и с пергел, поставен с острието върху положението на Земята, намираме пресечните точки на окръжностите с радиус, равен на съответните разстояния, с начертаните орбити на планетите. Получаваме по две пресечни точки за всяка една от планетите, които отбелязваме с цифрите 1 и 2. Върху графиката на ъгловите размери на Венера виждаме, че на 1 ноември 2020 година Венера вече е подминала горно съединение, но още не е достигнала долно съединение. Следователно тя се намира в точка 1.

Върху графиката на ъгловите размери на Юпитер виждаме, че Земята е отминала точката на опозиция с планетата. Следователно Юпитер се намира в точката върху неговата орбита означена с 1.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

• За правилен метод за определяне кои графики се отнасят за Венера и Юпитер – 4 т.
• За правилен теоретичен начин за определяне на разстоянията до двете планети на 1 ноември 2020 г. – 2 т.
• За измервания и пресмятания – 2 т.
• За верни числени отговори – 2 т.
• За построяване на орбитите на планетите и определяне на възможните им положения - 2 т.
• За правилно решение кои от възможните положения на планетите съответстват на действителността – 3 т.