НОА 2020, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Венера и Плеядите

• А Венера е била много близо до максималната си източна елонгация – на около 45.5–46.5° източно от Слънцето (за кръгова орбита с радиус 0.72 AU максималната елонгация е $\alpha_{MAX} \approx 46^{\circ}$).

  Реалната дата на максималната източна елонгация е 25 март 2020 г.

• Б Дискът е наполовина огрян (фаза като „първа четвърт“), с видим ъглов диаметър $\delta = D/r \approx 24''$; осветена е западната половина, а терминаторът е наклонен спрямо линията север-юг.

  Разстоянието Земя–Венера при максимална елонгация е $r = \sqrt{1\,\mathrm{AU}^2 - 0.72\,\mathrm{AU}^2} \approx 0.69$ AU.

• В 22 март 2021 г.

  Пресмятането дава $t \approx 356$ d след 31 март 2020 г. Действителната дата е 26 март 2021 г.

А) 1. На 31 март Слънцето се намира в съзвездието Риби. В този момент, то е в точка от еклиптиката, разположена приблизително на $10^{\circ}$ източно от пролетната равноденствена точка. Известно е, че звездният куп Плеяди също се наблюдава много близо до равнината на еклиптиката. Слънцето се намира най-близо до купа приблизително в средата на месец май (най-точно – 20 май, но такава точност не може да се изисква при решаването на тази задача. Може да се съобрази, че ректасцензията на Плеядите е около 4h. Тъй като точката на лятното слънцестоене е с ректасцензия 6h, то Слънцето преминава „покрай“ Плеядите приблизително 1/12 от годината или един месец преди слънцестоенето. Такъв начин на разсъждение би следвало да се приеме за верен.). Следователно, Венера се намира много близо до точката от еклиптиката, в която Слънцето ще бъде след приблизително 45-50 денонощния, защото това е времевият интервал между 31-ви март и 15/20 май.

Слънцето се придвижва по еклиптиката с ъглова скорост приблизително равна на $1^{\circ}$/денонощие (по-точно $0.985^{\circ}$). Оттук правим извода, че Венера отстои на малко повече от $45^{\circ}$ източно от Слънцето. Следователно Венера е много близо до своята максимална източна елонгация.

2. Освен това е известно, че Плеядите се намират в съзвездието Бик, а Слънцето е в Риби. (При това пролетната равноденствена точка е в западната половина на Риби.) А между тях има цяло зодиакално съзвездие – Овен, макар то да е от малките по размери съзвездия. Следователно ъгловото разстояние между Слънцето и Венера е съществено над $30^{\circ}$, най-вероятно над $40^{\circ}$, което също така подсказва, че Венера е близо до максимана източна елонгация.

3. Ако Венера е близо до максимална източна елонгация, нейното движение относно звездите, успоредно на еклиптиката, трябва да се осъществява с ъглова скорост, която е близка до ъгловата скорост на Слънцето по еклиптиката в този период от годината. Около равноденствията видимото движение на Слънцето е близко до средното. Добра оценка на средното движение на Слънцето по еклиптиката ще получим, като разделим $360^{\circ}$ на 365.25 (броя на дните в юлианската година). Получаваме, че средното движение на Слънцето по еклиптиката е 0.9856 градуса на денонощие. Използваме размера на приложената карта за да пресметнем нейния линеен мащаб или разстоянието между два деклинационни кръга, между които ректасцензията се променя с 10 часови минути (в този случай не трябва да забравиме да умножим разликата в ректасцензиите по $\cos\delta$, където $\delta = 24^{\circ}$ е деклинацията на центъра на картата). За мащаба получаваме, че е 1.442 дъгови минути на милиметър. Измерваме средното разстояние между положенията на Венера в милиметри. Получаваме, че то е 38 мм, което отговаря на отместване $0.913^{\circ}$. Виждаме, че тази стойност е близка до средното движение на Слънцето, но все пак е малко по-ниска. Следователно при своето видимо движение Венера бавно се приближава към Слънцето. Причината за това е, че максималната елонгация на Венера е била на 22 април и Венера вече започва да се движи към долно съединение. Все пак разликата в скоростите е малка и планетата очевидно, е близо до максималната си източна елонгация.

4. Най-добре е, обаче, да се използва информацията от самата карта, дадена в приложенията. От нея може да се определят координатите на Венера, примерно на 31 март. След като направим необходимите измервания получаваме, че ректасцензията на Венера е равна на $3^{\mathrm{h}}\,37^{\mathrm{m}}.5 = 3^{\mathrm{h}}.625 = 54^{\circ}.375$. Ние не знаем точно датата на пролетното равноденствие, но 2020 година е високосна и разумно предположение е, че равноденствието е на 20 март. До 31 март са изминали 11 денонощия. Вечеполучихме оценката, според която по това време средното движение на Слънцето по еклиптиката е 0.9856 градуса на денонощие. За 11 денонощия Слънцето ще измине приблизително $10^{\circ}.8$. Изваждаме ректасцензията на Слънцето от ректасцинзията на Венера и получаваме, че разликата в ректасцензиите е $\Delta\alpha \approx 43^{\circ}.6$. Ние, обаче, търсим ъгловото разстояние по еклиптиката. Получава се сферичен правоъгълен триъгълник, с ъгъл при върха по-малък от $23^{\circ}.5$ (Слънцето се е отдалечило от пролетната равноденствена точка на около 11 градуса). Не е възможно да го решим точно със средствата с които се предполага че разполагаме, но е ясно, че разстоянието по еклиптиката е „хипотенузата“ на триъгълника и трябва да бъде по-голямо от $\Delta\alpha$. Поне с 2-3 градуса. Следователно Венера се намира от Слънцето на около 45.5 – 46.5 градуса и е близо до източна елонгация.

На схемата е показано взаимното разположение на Слънцето, Земята и Венера при такава конфигурация. От чертежа следва, че за ъгъла на който Венера видимо отстои от Слънцето, гледана от Земята в този момент, е изпълнено съотношението:

Оттук заключаваме, че действително Венера е много близо до максимална източна елонгация.

Реалната дата на максималната източна елонгация е 25 март 2020г. т.е. само шест дни преди 31-ви март. Именно затова и ъгловото отстояние между Венера и Слънцето е много близко до максималното възможно.

Б) От горната схема е видно, че по време на максимална елонгация разстоянието между Земята и Венера е:

Да означим с D диаметъра на Венера. Нейният видим ъглов размер в максимална елонгация е:

В такава конфигурация дискът на Венера изглежда на половина огрят от Слънцето, защото слънчевите лъчи, падащи върху Венера, са перпендикулярни на зрителния лъч от Земята към планетата. Ако погледнем Венера с достатъчно голям телескоп, тя ще изглежда както е показано на следващата фигура.

Терминаторът на Венера е наклонен спрямо меридиана (линията север-юг), защото Слънцето има по-малка деклинация от тази на Венера. Точната стойност на ъгъла на наклон, разбира се, не се изисква при решаването на задачата.

В) Първо ще намерим сидеричния период на Венера $T_{SID}$. Съгласно третия закон на Кеплер:

Оттук намираме, че $T_{SID} \approx 223$ d.

Ако орбиталният период на Земята е $T_{З} = 365$ d, то синодичният период на Венера е:

В отправна система, която е неподвижно свързана със системата Земя-Слънце, за един синодичен период, Венера изминава $360^{\circ}$ по своята орбита. Следващата конфигурация, след максималната източна елонгация е долно съединение. Следват: максимална западна елонгация и горно съединение.

Оттук следва, че в тази отправна система до следващото горно съединение, Венера трябва да измине дъга от своята орбита, на която съответства централен ъгъл:

Това означава, че времето, което ще измине от преминаването на Венера през Плеядите до следващото горно съединение е:

Следователно горното съединение ще настъпи на 22 март 2021г. (Действителната дата е 26 март 2021г.)

Критерии за оценка (общо 15 т.):

А) (Общо – 6т.) Обосновка на идеята, че Венера е в максимална източна елонгация – едно от четирите решения (като за второто решение се дават – 4 точки.)

Точките се разпределят според избрания начин на решение на задачата.

Б) (Общо – 4т.) Съобразяване на фазата – 2т.

Правилна схема и ориентация на венерианския терминатор – 2т.

В (Общо – 5т.)

За намиране на сидеричния и синодичния период на Венера – 1т.

Правилни геометрични съображения относно дъгата, която Венера трябва да измине до следващото горно съединение – 2т.

Правилен израз и вярна стойност за търсената дата – 2т.

(Възможно е ученикът да е направил грешка в А) подусловие и да е получил, че Венера е в максимална западна елонгация. Това неминуемо ще доведе до неверни резултати в тази част на задачата. Ако обаче всички разсъждения в това подусловие са правилни и грешният резултат произтича само от предварително направени грешки, то би следвало да се присъдят максимален брой точки.)