НОА 2020, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Кулминации на две звезди

Лесно се проверява, че когато меридианът с ректасцензия $6^{h}$ кулминира, пролетната равноденствена точка $\gamma$ съвпада с точката запад $W$ и есенната равноденствена точка $\Omega$ съвпада с точката изток $E$. Обратно, при кулминация на меридиана с ректасцензия $18^{h}$ имаме $\gamma \equiv E$ и $\Omega \equiv W$.

Моментите на кулминация от условието на задачата са близки по време до горепосочените -- точката $\Omega$ е близо до $E$, когато Алдебаран кулминира, т.е. когато Слънцето изгрява (тогава и то е близо до $E$). Аналогично, точката $\Omega$ е близо до $W$, когато Сабик кулминира, т.е. когато Слънцето залязва (тогава и то е близо до $W$). И така, в моментите от задачата точките $\Omega$ и $S$ (Слънце) отстоят на малки ъгли от $E$ или $W$. Затова може събитията в тези участъци по небето да се разглеждат в равнинно приближение.

Разглеждаме първо момента на изгрев. Остават $\Delta\alpha_{2} = 6^{h} - \alpha_{2} = 1^{h}24^{m}$, докато точката $\Omega$ заедно с еклиптиката се премести на позицията $E$. Именно $\Delta\alpha_{2}$ е ъгловото отстояние на $\Omega$ от $E$ по небесния екватор. Начертаваме участъка от небесната сфера около $E$, съобразявайки взаимната ориентация на екватора и еклиптиката, както и ъгъла $\varepsilon = 23.5{^\circ}$ между тях при $\Omega$. Слънцето се намира на хоризонта и е на фиксирано разстояние $\Delta\lambda$ от $\Omega$ по еклиптиката, което се задава от датата на наблюдение.

С помощта на построения перпендикуляр $\Omega H$ изразяваме отсечката $\Delta\lambda$ чрез известното $\Delta\alpha_{2}$:

Сега взимаме и момента на залез. Остават $\Delta\alpha_{1} = 18^{h} - \alpha_{1} = 50^{m}$, докато точката $\Omega$ заедно с еклиптиката се премести на позицията $W$. Начертаваме участъка от небесната сфера около $W$, отново следейки взаимната ориентация на екватора и еклиптиката (това става най-лесно с чертеж на цялата небесна сфера).

Сега чрез подобно построения перпендикуляр $\Omega H$ изразяваме отсечката $\Delta\lambda$ с известното $\Delta\alpha_{1}$:

Приравняваме двете равенства за $\Delta\lambda$ и получаваме уравнение за $\varphi$:

Оттук нататък то може да се реши числено, но все пак има и аналитично решение. Полагаме за улеснение $\Delta\alpha_{1}/\Delta\alpha_{2} = A$ и $90{^\circ} - \varphi = K$, при което решаваме

След преобразованията връщаме началните величини, за да получим географската ширина:

Сега с кой да е от двата израза за $\Delta\lambda$ може да получим числена стойност $\Delta\lambda = 18.3{^\circ}$. Отбелязваме, че отсечките $ES$ и $WS$ се оказват равни, както и се очаква¹.

В момента на наблюдение Слънцето има положителна деклинация, тоест още не е преминало през $\Omega$. Датата на наблюдение отстои на

преди датата на есенно равноденствие. Взимайки я за 22 септември, намираме, че наблюденията се правят около 3 септември (тоест описаното се вижда по време на сегашния теоретичен тур). Резултатът на практика съвпада с компютърните показания, което допълнително оправдава равнинното приближение.

¹ Ако този факт се използва още отначало, косинусовата теорема при моментите на изгрев и залез показва, че $\Delta\alpha_{1}^{2} + {\Delta\lambda}^{2} - 2\Delta\alpha_{1}\Delta\lambda\cos\varepsilon = \Delta\alpha_{2}^{2} + {\Delta\lambda}^{2} - 2\Delta\alpha_{2}\Delta\lambda\cos\varepsilon$, откъдето

С тази информация първо може да се намери датата на наблюдение, а след това и ширината $\Delta\varphi$ чрез тригонометрични преобразования при перпендикуляра $\Omega H$ или чрез синусовата теорема в $\Omega WS$/$QES$. Такова решение е по-кратко алгебрически, но за него е необходима същата геометрична постановка, както и употребата на тригонометрия в неправоъгълни триъгълници.

Критерии за оценяване (общо 19т.):

а) -- За изразяване на разстоянията между равноденствените точки и $E/W$ в момента на наблюдение -- 2т.

-- За правилна геометрична постановка -- 5т.

(за еквивалентна на дадените чертежи информация 2 x 2.5т.,

включително за положение на $\gamma/\Omega$ по екватора и $S$ по хоризонта, за ориентация на еклиптиката, за ъгъла еклиптика/екватор, за същността на $\Delta\alpha_{1}$ и $\Delta\alpha_{2}$, за еднаквото $\Delta\lambda$;

допускат се също чертежи на цялата небесна сфера, ако ориентирите са нанесени достатъчно ясно )

-- За достигане на уравнение за географската ширина -- 4т.

-- За решаване на уравнението и числен резултат -- 4т.

(за числено решение 2т.)

б) -- За изчисляване на отстоянието на Слънцето от $\Omega$ -- 2т.

-- За пресмятане на отстоянието от есенно равноденствие в дни -- 1т.

-- За отговор за датата на наблюдение (допустимо отклонение 2 дни от 3 септември) -- 1т.

Ако се използва второто приложено решение, следва оценяването да се промени съобразно това, тъй като намирането на $\Delta\lambda$ става първа и по-трудна стъпка.