Съдържание

НОА 2020, IV кръг, Младша възраст — Задача 3. Експедиция до планетата Стела

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

ХХІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ, IV кръг, 1 септември 2020 г., гр. Варна, теоретичен тур, Младша възраст · 1 септември 2020 г.

Условие

През 2356 г. човечеството изпраща експедиция до далечната планета Стела. Част от екипажа основава база на екватора на планетата, а друга част остава на космическия кораб в кръгова орбита около планетата, в равнината на нейния екватор.

А) Астронавтите на повърхността на планетата правят следните експерименти:

Измерват, че малък плътен предмет пада свободно от височина 10 метра за 2.9 секунди.
Пътуват със стелохода си 3 часа в посока север със скорост 20 km/h и измерват, че от новото положение звездата Алтаир кулминира с 24' (дъгови минути) по-високо, от същата страна на зенита.

Изчислете радиуса, масата и средната плътност на планетата Стела.

Б) Планетата се върти около оста си с период 15 часа. На всеки 6 часа корабът преминава над екваториалната база. На каква височина над повърхността на планетата лети корабът? За наблюдател от космическата база колко време минава от изгрева на кораба над хоризонта до преминаването му през зенита?

В) Идва време учените на повърхността на планетата да се прибират обратно в космическия кораб. За тази цел те се качват в капсула с реактивен двигател. С кратък ракетен импулс капсулата рязко се изстрелва над рядката атмосфера на планетата Стела, след което продължава да лети с изключен двигател. Каква е необходимата начална скорост, която трябва да се придаде на капсулата, за да стигне успешно до космическия кораб?

Справочни данни:

Гравитационна константа $6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3/kg \cdot s^2}$

Решение

Внимание: Непълно решение

Условието на Стела е с 24′; наличното решение и повтореното в него условие са с 94′. Публикуваните резултати са за 94′; решение за отпечатаните 24′ не е намерено.

А)

Предмет пада от височина h = 10 m за време t = 2.9 s. Гравитационното ускорение на повърхността трябва да е

a = 2h/t^{2} = 2.378\ m/s^{2}

За 3h с 20 km/h астронавтите ще изминат път l = 60 km на север. Щом Алтаир променя максималната си височина с 94' от една и съща страна на зенита, то географската ширина се е променила с Δφ = 94'. Радиусът R на планетата намираме от

$\frac{l}{2\pi R} = \frac{\Delta\varphi}{360}$ $\rightarrow$ R = 2194 km

Масата на планетата пресмятаме от

a = \frac{GM}{R^{2}}

M = 1.716 x $10^{23}$ kg = 0.0287 $M_E$

Средната плътност е

\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^{3}} = 3.879\ g/{cm}^{3}

Б)

Планетата се върти около оста си с период $T_{rot}$ = 15 h. На всеки $T_{syn}$ = 6 h корабът преминава над екваториалната база. Орбиталният период на кораба T намираме от

\frac{1}{T} = \frac{1}{T_{rot}} + \frac{1}{T_{syn}}

T = \frac{T_{rot}T_{syn}}{T_{rot}{+ T}_{syn}} = 4.286\ h

От III Закон на Кеплер намираме радиуса на орбитата:

\frac{r^{3}}{T^{2}} = \frac{GM}{4\pi^{2}}

r = 4102 km

Височината над повърхността в зенит е h = r -- R = 1908 km

В коротационната система ъгълът на завъртане от изгрев до зенит θ намираме от

\cos\theta = R/r

θ = 57.66 deg

Времевият интервал от изгрев до зенит е

t = T_{syn}\frac{\theta}{360} = 57.66\ min

В)

В най-изгодния енергетично случай капсулата ще тръгне по елиптична орбита с перицентър, приблизително равен на R, и апоцентър в орбитата на кораба (на разстояние r). Голямата полуос на тази орбита е A=(r+R)/2. Пълната механична енергия на тази орбита e

E_{2} = - \frac{GMm}{2a}

Същата енергия веднага след изстрелването, в перицентъра, е:

E_{2} = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{GMm}{R}

Решаваме и намираме v = 2607 m/s

Тъй като търсим скоростта спрямо планетата, трябва да се извади скоростта на въртене на екватора $v_{rot}$ = 2πR/ $T_{rot}$ = 255 m/s:

v_{P} = v - v_{rot} = 2352\ m/s

Оригинал в Архива: NOA4_2020_20-IV-teorML.docx · официални решения: reshenia_kurtenkov_2020_IV.docx · допълнителни данни: aT1_sol.docx · допълнителни данни: aT2_sol.docx