НОА 2020, IV кръг, Старша възраст — Задача 2 (стр. 1). Сизигия

а)

Независимо от масата им, кафявите джуджета имат практически еднакъв радиус, близък до този на Юпитер. Като стойност може да вземем $R_{d} = 70000\ km$. Масата на кафяво джудже е ограничена отгоре, защото след дадена гранична стойност $M_{\text{max}}$ започват ядрени реакции, което съответства по дефиниция на звезда. За масата $M$ на кафявото джудже е правдоподобно тогава да вземем $M < M_{\text{max}} = 0.08\ M_{\odot}$.

Нека космическата станция се движи по кръгова орбита с радиус $r$. Тя се свързва с орбиталния период $T$ и орбиталната скорост $v$ чрез третия закон на Кеплер и с кинематична връзка:

Това води до формулата за кръгова скорост $v = \sqrt{\gamma M/r}$. С това поставяме ограничение за орбиталната скорост:

б)

Нека в момента на направа на снимките разстоянията от кафявото джудже до планетите са $r_{1}$ и $r_{2}$ ($r_{2} > r_{1}$). Моментните орбитални скорости на планетите са съответно $v_{1} = \sqrt{2\gamma M/r_{1}}$ и $v_{2} = \sqrt{\gamma M/r_{2}}$. Движението на планетите няма моментна радиална компонента и за кратки периоди от време може да се разглежда като движение по права, перпендикулярна на направлението към джуджето, със скорост $v_{1}$ или $v_{2}$.

При направените кадри за фотографа изглежда, че центровете на заснетите тела са в зенита. Същевременно центърът на тялото, от което фотографът снима, за него е в надира. Така и при двата кадъра изглежда, че центровете на двете планети и на кафявото джудже се намират на една права. На пръв поглед е ясно, че такова разположение на центровете „според" единия кадър налага същото за другия. Напротив! Съвпадението на центровете в два кадъра, направени в един момент, отговаря на конкретни условия за орбитите поради крайната стойност на скоростта на светлината $c$.

Когато светлината от близката на Фиг. 1 планета достига станцията, тази планета е изминала $\left( \frac{r_{1}}{c} \right)v_{1}$ по траекторията си спрямо своето положение на кадъра. Кадърът на Фиг. 2 е получен именно при такова нейно реално положение. Светлината от близката планета достига до фотографа на Фиг. 2 за време $\frac{r_{2} - r_{1}}{c}$. Според него тази планета е с $\left( \frac{r_{2} - r_{1}}{c} \right)v_{1}$ „назад" спрямо истинското си положение. Тази нейна наблюдавана позиция е с

напред спрямо наблюдаваната от Фиг. 1 позиция. Това съответства на ъглово отместване по орбитата $\left( \frac{2r_{1} - r_{2}}{r_{1}} \right)\frac{v_{1}}{c}$, изразено в радиани.

Междувременно, по-отдалечената планета аналогично е с $\left( \frac{r_{2}}{c} \right)v_{2}$ „напред" по траекторията си спрямо позицията на Фиг. 1, което съответства на ъглово отместване по орбитата $\frac{v_{2}}{c}$. За да може наблюдаваните центрове на кафявото джудже и близката планета да съвпадат на Фиг. 2, трябва да има съвпадение на ъгловите отмествания:

Заместваме изразите за орбитална скорост и полагаме $\frac{r_{2}}{r_{1}} = k$, с цел да го намерим:

Взимайки $2k = x$, това лесно се свежда до

От лявата страна на това равенство стои уравнение на права, преминаваща през точките $(0,2)$ и $(2,1)$. Нанасяме я на дадената координатна мрежа. Пресечната й точка с графиката на $1/\sqrt{x}$ има координата $x$, която е решение на уравнението. Така намираме $x \approx 2.8$, или

Означаваме радиусите на планетите съответно с $R_{1}$ и $R_{2}$. Измерваме по кадъра от станцията отношението на ъгловите радиуси $p = \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = 0.8$. Аналогично, по другия кадър намираме отношение $q = \frac{\rho_{1a}}{\rho_{d}} = 0.2$. Последователно намираме

Разглеждаме пасаж на планетата под въпрос пред диска на кафявото джудже. Сравняваме звездните величини при пасаж и извън пасаж, съответно $m_{1}$ и $m_{2}$. С данните дотук може да намерим разликата в тях $\Delta m$ (независимо от използвания филтър, тъй като пасажът блокира светлината еднакво, независимо от областта в спектъра). Получаваме

Коментар. Скоростта на станцията, намерена в а), е нерелативистка, тоест свързани с това ефекти не е необходимо да се отчитат.

Аберацията на светлината не оказва влияние на решението в б), тъй като ъгълът на аберация зависи от скоростта на движение на наблюдателя и направлението на наблюдение. И двата фактора са еднакви за наблюдаваните обекти -- и гледано от станцията, и гледано от планетата.

Критерии за оценяване (общо 19т.):

а) -- За правдоподобна стойност на радиуса на кафявото джудже (±30%) -- 1т.

-- За правдоподобна стойност на максималната маса на кафявото джудже (±30%) -- 1т.

-- За израз за кръгова скорост -- 1т.

-- За изчисляване на ограничението за орбитална скорост (независимо от началните данни) -- 1т.

б) -- За изразяване на орбиталните скорости -- 1т.

-- За коректна представа за движението на планетите (по права или оскулачна окръжност) -- 1т.

-- За (какво да е) отбелязване на крайната скорост на светлината -- 2т.

-- За изразяване на отместванията на планетите -- 2т.

-- За поставяне на критерий за съвпадащи центрове по кадрите (наблюдаеми положения на една права) -- 2т.

-- За решаване на уравнението за разстоянията планета-джудже -- 3т.

-- За измерване на отношенията на ъгловите размери -- 1т.

-- За изразяване на отношението на радиусите (не се иска числена стойност) -- 1т.

-- За изразяване на промяната в звездните величини -- 1т.

-- За крайна числена стойност -- 1т.

-- Допълнителни точки за правилни коментари относно релативистките ефекти, аберацията и филтрите -- до 2т.

Ако участниците не са запознати с параболична скорост, може да се добави указание, че тя е $\sqrt{2}$ пъти кръговата скорост за дадено разстояние (а стандартната формула за кръгова скорост се извежда лесно).