НОА 2020, IV кръг, Старша възраст — Задача 2 (стр. 2). Завръщането на Великия ходжа

а)

По графиката на уравнението на времето отчитаме, че на 1 септември между истинското слънчево време и средното слънчево време няма разлика. Затова пладнето в Мека съответства на местно време 12:00. Местното време в другите два града се определя от разликата на географските им дължини с тази на Мека. Добавката спрямо 12:00, която трябва да се направи, за Багдад е

За Стокхолм тя е

С точност до минута, местните времена в Багдад и Стокхолм са съответно 12:18 и 10:33.

Отчитаме на картата положенията на Багдад и Стокхолм. Градовете се намират в часовите зони UT+1 и UT+3, централните меридиани на които са съответно $\lambda_{1} = 15{^\circ}$ и $\lambda_{2} = 45{^\circ}$. Местното време на централните меридиани определяме с аналогични корекции:

За UT+1 то е 10:21, а за UT+3 то е 12:21, с точност до минута. Гражданското време в дадена часова зона (включително и в градовете под въпрос) се задава като местното време на централния й меридиан, с необходимата корекция за лятно часово време (ЛЧВ). На 1 септември в северното полукълбо ЛЧВ действа в страните, които го съблюдават. Това е вярно за Швеция (Стокхолм), но не и за Ирак (Багдад), както отчитаме по картата. И така, за Великия ходжа гражданското време е 12:21, а за Великия имам то е 11:21.

б)

По същество направлението от даден град към Мека се дефинира от големия кръг по Земята през този град и Мека. В рамките на задачата това означава, че сенките на минаретата трябва да лежат по съответните си големи кръгове едновременно.

Да дефинираме като подслънчева точка $S$ мястото по Земята, където в даден момент Слънцето е в зенита. За да е възможно сянка да е насочена по даден голям кръг, трябва подслънчевата точка тогава да се намира на този голям кръг, както е показано. На схемата в равнината на чертежа е големият кръг на Багдад/Стокхолм и Мека. Ако подслънчевата точка не се намира върху големия кръг, слънчевите лъчи ще идват косо спрямо кръга и сянката на минарето ще е отклонена спрямо него.

За да е изпълнено условието на задачата, трябва $S$ да лежи едновременно на големия кръг Мека-Багдад и големия кръг Мека-Стокхолм. Единственият начин това да стане е $S$ да е върху Мека или върху антипода й по земната повърхност, тъй като това са двете пресечни точки на големите кръгове. Вторият вариант се отхърля, защото при този случай сенките на минаретата сочат към Мека, а не обратно на направлението към Мека.

И така, моментът, в който става търсеното, е когато Слънцето кулминира в зенита за Мека. Деклинацията на Слънцето на такава дата е $\delta = \varphi = 21.4{^\circ}$. Намираме, че при такова условие за еклиптичната дължина на Слънцето е вярно $\sin\lambda = 0.915$. Решенията на това уравнение са две, $\lambda_{a} = 66.2{^\circ}$ и $\lambda_{b} = 180{^\circ} - \lambda_{a} = 113.8{^\circ}$. Приемайки промяната в еклиптичната дължина за равномерна през годината, имаме за нея

където $t$ е времето след мартенско равноденствие, а $T = 365.25\ d$ е (приблизително) продължителността на тропическата година. С това намираме моментите от годината, в които Слънцето кулминира в зенита за Мека. От еклиптичните дължини $\lambda_{a,b}$ достигаме $t_{a} = 67.2\ d$ и $t_{b} = 115.5\ d$. Взимаме 20 март като дата на мартенското равноденствие, при което за датите получаваме 26 май и 14 юли. Предположенията в решението и точността на работа дават 1-2 дни отклонение от реалните дати.

в)

Географската дължина на Доусън се различава от тази на Мека с на практика $180{^\circ}$. С добра точност може да приемем, че Доусън се намира върху меридиана, противоположен на този на Мека. Големият кръг между Доусън и Мека тогава може да се счита за съвпадащ с двойката меридиани. По този голям кръг Доусън отстои на $\beta = 180{^\circ} - (64.0{^\circ} + 21.4{^\circ}) = 94.6{^\circ}$ от Мека.

Отново, за да е възможно сенките на двете минарета да са насочени обратно на Мека, непременно трябва Слънцето да е в зенита за Мека. В такъв момент Слънцето е над хоризонта за точките, отстоящи на до $90{^\circ}$ от Мека по земната повърхност. Но $\beta > 90{^\circ}$, така че за Доусън тогава със сигурност ще е нощ. В Доусън сянка на минарето изначално няма да има. Затова няма дата, на която да се наблюдава исканото. /или „impossible situation -- ситуация невозможна" :) /

Коментар. Литература: https://en.wikipedia.org/wiki/Qibla_observation_by_shadows

Критерии за оценяване (общо 21т.):

а) -- За отчитане, че уравнението на времето не внася промени -- 1т.

-- За отговор относно местните времена в двата града -- 2т.

-- За изразяване на местните времена за правилните централни меридиани -- 2т.

-- За отчитане на лятното часово време -- 1т.

-- За отговор относно гражданските времена в двата града -- 1т.

б) -- За разбиране, че Слънцето трябва да е в зенита за пресечна точка на два големи кръга -- 4т.

-- За отчитане и отхвърляне на случая с антипода на Мека -- 2т.

-- За достигане на уравнение за еклиптичната дължина -- 2т.

-- За намиране на двете възможни еклиптични дължини -- 1т.

-- За отговор относно възможните дати (допуска се ±2 дни отклонение) -- 1т.

в) -- За забелязване на съвпадението в географските дължини -- 1т.

-- За намиране на отстоянието между пунктовете -- 1т.

-- За изразяване на условието за видимост на Слънцето, когато то е в зенит за Мека -- 1т.

-- За правилно заключение и отговор -- 1т.