Съдържание

НОА 2020, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Спътници около планетата Александрета

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. IV кръг, 1 септември 2020 г., гр. Варна, теоретичен тур. Старша възраст · 1 септември 2020 г.

Условие

Цивилизацията на планетата Александрета осъществява проект Х – изнасяне на множество еднакви спътници с камери за наблюдение в инфрачервени лъчи на една и съща висока елиптична екваториална орбита около планетата. Орбитата е много по-голяма от самата планета, Известно е, че за да се изстреля от повърхността на планетата така, че да добие скорост, равна на скоростта на избягване, на един такъв спътник трябва да се придаде допълнителна енергия $E_{K}$ = 2.4 x $10^{9}$ J. Всеки спътник е оборудван с високоефективен реактивен двигател, който може да изхвърля гориво със скорост $v_{F}$ = 500 km/s.

А) От контролния център на мисията решават да свалят спътниците X26 и X27. Едновременно, в един и същ момент реактивните им двигатели се включат за кратко, така че да спрат спътниците спрямо планетата и те да паднат директно към нея. В този момент разликата в абсолютните скорости на двата спътника по орбитата е $\Delta v$ = 200 m/s, а разликата в ъгловите размери на планетата Александрета, регистрирани от камерите на X26 и X27 е $\Delta\delta$ = 0.4 градуса. Каква е общата маса на реактивното гориво на X26 и X27, необходимо за тази операция? Приемете, че масата на изхвърленото гориво е много по-малка от масата на спътниците. Ефекти, предизвикани от атмосферата на планетата и гравитационното влияние на звездата да се пренебрегнат.

Б) Орбитата на спътниците лежи в равнината на небесния екватор. С камерите редовно се наблюдават окултации на звезди от планетата. В перицентъра на орбитата спътникът X35 регистрира окултация на звезда с ректасцензия 6h, продължила 90 минути. По-късно от същия спътник се наблюдава окултация на звезда с ректасцензия 12h, продължила 130 минути. Колко ще продължи окултацията на звезда с ректасцензия 18h? И трите звезди лежат в равнината на орбитата.

В) Следващата стъпка на Александрета е проект Y – в орбита с голяма полуос 80 000 km, ексцентрицитет 0.6 и перицентър с ректасцензия 18h да се изведат 6000 спътника. Всеки от тях непрестанно ще излъчва в радиодиапазона на честота 2.4 GHz с мощност 9x $10^{6}$ Jy.m $^{2}$ . Когато всички тези спътници по орбитата заработят, какъв ще бъде общият поток излъчване (в Jy) на честота 2.4 GHz, идващ от спътниците разположени между ректасцензии от 7h до 8h, върху повърхността на планетата Александрета?

1 Jy (1 янски) = $10^{-26}$ W/(m $^{2}$ .Hz) е мерна единица за поток на излъчването в радиодиапазона.

Решение

А)

Щом се движат по една орбита, X26 и X27 имат една и съща пълна механична енергия:

\frac{mv_{26}^{2}}{2} - \frac{GMm}{r_{26}} = \frac{mv_{27}^{2}}{2} - \frac{GMm}{r_{27}}

m(v_{26}^{2}-v_{27}^{2}) = 2GMm\left( \frac{1}{r_{26}} - \frac{1}{r_{27}} \right)

m\left( v_{26} + v_{27} \right)\left( v_{26} - v_{27} \right) = 2GMm\left( \frac{1}{r_{26}} - \frac{1}{r_{27}} \right)

Умножаваме дясната страна по R/R, където R е радиусът на планетата

\left( mv_{26} + {mv}_{27} \right)\left( v_{26} - v_{27} \right) = \frac{GMm}{R}\left( \frac{2R}{r_{26}} - \frac{2R}{r_{27}} \right)

Кинетичната енергия, необходима за изстрелване от повърхността, е

E_{K} = \frac{GMm}{R}

Разликата в ъгловите размери на планетата, гледани от двата спътника, е:

\Delta\delta = \left( \frac{2R}{r_{26}} - \frac{2R}{r_{27}} \right)

Сумата на абсолютните стойности на импулса на двата спътника в моментът преди изстрелването е

p_{26} + p_{27} = \left( mv_{26} + {mv}_{27} \right)

Разликата в абсолютните стойности на скоростите е

\Delta v = \left( mv_{26} - {mv}_{27} \right)

Заместваме и получаваме

{(p}_{26} + p_{27})\Delta v = E_{K}\Delta\delta

За да спре двата спътника, общото изхвърлено гориво с маса m трябва да придаде същият общ импулс:

{(p}_{26} + p_{27}) = {mv}_{F}

От тук

$m = \frac{E_{K}\Delta\delta}{v_{F}\Delta v} =$ 167 g

Б)

От закона за запазване на ъгловия момент във всяка точка по орбитата със скорост v, разстояние до планетата r и ъгъл между тях θ важи

vr\sin{\theta = const}

Ъгловата скорост на планетата, гледано от спътника, е

\omega = v\sin{\theta/r}

Оттук

\omega r^{2} = const

Ъгловият размер на планетата е

\delta = 2R/r

Продължителността на централна окултация ще бъде

t = \frac{\delta}{\omega} = \frac{2Rr}{const}

Или $t\ \sim\ r$

При планета на 6h спътникът е в перицентър, на разстояние a(1-e).

При планета на 12h спътникът е на 90 градуса спрямо планетата, на разстояние a(1+e)(1-e)

При планета на 18h спътникът е в апоцентър, на разстояние a(1+e).

От дадените две продължителности намираме ексцентрицитета на орбитата:

$1 + e = 130/90$ или e = 4/9

Сравняваме търсената продължителност на окултация в апоцентър, сравнявайки с перицентър:

t/90\min{= \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{13}{5} = 234\ min}

В)

От следствието, че

\omega r^{2} = const

Ъгловата скорост зависи по същия начин, както потокът от обекта, гледан от фокуса на орбитата. Следователно потокът ще е еднакъв от всички направления.

В даден участък от орбитата, който се вижда под ъгъл φ, ще има средно n от общо N=6000 спътника и ако участъкът се изминава за време t, то

n = Nt/T

n = \frac{N\varphi}{\omega T}

Ако участъкът е на разстояние r, общият поток от тези n спътника ще бъде

E = \frac{nL}{4\pi r^{2}} = \frac{NL}{4\pi}\frac{\varphi}{\omega r^{2}T}

За да пресметнем потока от единица ъгъл от орбитата, можем да разгледаме линеен сегмент от орбитата в точката, в която малката полуос b пресича орбитата. Този сегмент ще е на разстояние a от планетата, а ъгловата скорост на спътниците в него ще бъде

$\omega = v\sin{\theta/a}$ , където

v = \sqrt{GM/a}

\sin\theta = \frac{b}{a} = \sqrt{1 - e^{2}}

Заместваме и получаваме константния израз

\omega r^{2} = \sqrt{GMa(1 - e^{2})}

Заместваме в уравнението за потока и получаваме

\frac{E}{\varphi} = \frac{NL}{4\pi}\sqrt{\frac{1}{GMT^{2}a(1 - e^{2})}}

От III Закон на Кеплер

GMT^{2} = 4\pi^{2}a^{3}

Заместваме и получаваме

\frac{E}{\varphi} = \frac{NL}{4\pi(2\pi a^{2})\sqrt{(1 - e^{2})}}

или

E = \frac{\varphi}{2\pi}\frac{NL}{4\pi a^{2}\sqrt{(1 - e^{2})}}

където φ е ъгловият размер на участък от орбитата, видим от планетата, в радиани.

За участъка от 7h до 8h φ = π/12 и

E = \frac{1}{24}\left( \frac{NL}{4\pi a^{2}\sqrt{(1 - e^{2})}} \right)

Резултатът при L = 9x $10^{6}$ Jy.m $^2$ , a = 80 000 km, e=0.6 и N=6000 е E = 0.84 μJy

Оригинал в Архива: NOA4_2020_20-IV-teorST.docx · официални решения: reshenia_kurtenkov_2020_IV.docx · допълнителни данни: bT2_sol.docx · допълнителни данни: bT3_sol.docx