НОА 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Комета и метеори

• А) $r_A = a(1+e) = 49\ \mathrm{au};\ r_П = a(1-e) = 1\ \mathrm{au}$

  В решението перихелийното разстояние е изписано с формулата $a(1+e)$, но числената стойност 1 au отговаря на $a(1-e)$.

• Б) $V_П = \sqrt{\frac{GM}{a}}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \approx 41.7\ \mathrm{km/s};\quad V_A = \sqrt{\frac{GM}{a}}\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \approx 0.85\ \mathrm{km/s}$

• В) $V = \sqrt{u^2 + \frac{2GM_З}{R_З}} \approx 72.3\ \mathrm{km/s};\ 16.3\ \mathrm{km/s}$

• Г) Овен (при обратно на Земята движение) или Везни (при движение в същата посока)

А) Нека да означим голямата полуос на кометната орбита с a, а нейния ексцентрицитет с e.

Оттук следва, че афелийното (максималното) и перихелийното (минималното) разстояние между нея и Слънцето са съответно:

Б) За да намерим скоростите, с които кометата преминава през перихелий и афелий, можем да използваме законите за запазване на енергията и момента на импулса.

Записваме законите за запазване на енергията (1) и момента на импулса (2) за разстоянията $r_A$ и $r_П$ на кометата до Слънцето в афелий и перихелий:

(1):

(2):

Тук с M е означена масата на Слънцето, с m - масата на кометата, а с G – гравитационната константа.

След преработване на изразите получаваме:

В) Забелязваме, че кометата има перихелийно разстояние, което точно съвпада с радиуса на земната орбита. Преминавайки през перихелий, кометата има скорост перпендикулярна на радиус-вектора, който я свързва със Слънцето. От друга страна, Земята се движи по кръгова орбита. Това означава, че частичките, отделени от кометата, като навлизат в земната атмосфера имат скорости относно Слънцето, равни на перихелийната скорост на кометатата и успоредни по направление със скоростта на Земята $V_З$.

Можем да намерим:

В това подусловие, обаче, изникват два случая, защото е възможно кометата да се движи в същата посока, в която Земята се движи по своята орбита, но също така и в обратната посока.

Обобщено можем да запишем, че скоростта относно Земята, която отделените от кометата метеорни частици биха имали, ако не отчитаме земната гравитация, е следната:

Знакът „+“ е за случая, в който кометата се движи в обратна на Земята посока, а знакът „-“ съответства на движението в противоположна посока.

За да намерим скоростта V, с която частиците навлизат в атмосферата на Земята, трябва да отчетем и влиянието на земната гравитация. Метеорните частици предизвикват светене в земната атмосфера (явлението метеор) на височина около 100 km над земната повърхност, която е много по-малка от радиуса на Земята и поради това няма да я отчитаме. От закона за запазване на енергията следва, че:

където $M_З$ и $R_З$ са масата и радиусът на Земята, а $\mu$ е маса на навлизаща частичка.

Получаваме:

По-големата от двете стойности се получава, когато кометата се движи „срещу“ Земята.

Г) И в двата случая, за земния наблюдател би изглеждало, че частичките от кометата идват от направление, което отстои на 90° спрямо Слънцето по еклиптиката. На 11 август Слънцето е в съзвездието Лъв.

В случая, в който кометата се движи в посока обратна на Земята, за нас радиантът на метеорния поток ще бъде в съзвездие, което е на 90° западно от Лъв, или с други думи, там където Слънцето е било преди около 3 месеца (около 11 май). Това би следвало да е съзвездието Овен.

В другия случай, радиантът ще попада в съзвездие, разположено на 90° източно от Лъв, или в точка от еклиптиката, в която Слънцето ще е приблизително три месеца след 11 август. Следователно, тогава радиантът би бил в съзвездието Везни.

Критерии за оценяване:

А) 2т.

• за правилни изрази за двете разстояния – 1т.
• за правилни числени стойност – 1т.

Б) 4т.

• за правилен подход към намирането на скоростите – 2т.
• за правилни крайни изрази и верни числени стойности – 2т.

(Пълен брой точки би следвало да се присъди, дори в случай, в който ученикът не е написал началните съображения, от които тези скорости се извеждат, а само е написал правилно крайните формули.)

В) 6т.

• за намиране на скоростта на Земята – 1т.
• съобразяване на скоростта на частичките, относно Земята, преди да се отчете земното гравитационно влияние – 1т.
• за прилагане на закона за запазване на енергията – 3т.
• за определяне на скоростите на частичките и верни числени резултати – 1т.

(В случай, че в решението на ученика не е отчетено наличието на втори случай, но другият случай е решен напълно и вярно, да се отнемат 2 точки)

Г) 3т.

• за съобразяване на това, че радиантът ще бъде на 90° от Слънцето – 1т.
• за правилни разсъждения, относно съзвездията и верен извод кои са те – 2т.

(В случай, че в решението на ученика не е отчетено наличието на втори случай, но другият случай е решен напълно и вярно, да се отнема 1 точка)