НОА 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Гореща планета

• А) $T = T_{sol}\sqrt{\frac{R_{sol}}{r}} = 2815\ \mathrm{K}$

  При орбитален период $T_P$ = 23h 56m и радиус на орбитата $r = 2.922\times10^{6}$ km = 4.20 $R_{sol}$.

• Б) Да – 2815 K съответства на спектрален клас M7.5V; най-младите кафяви джуджета също достигат около 2800 K. Различието е в масата и в източника на енергия: звезда (над 0.077 слънчеви маси) синтезира хелий от водород, кафявото джудже (13–80 маси на Юпитер) само деутерий и се свива гравитационно, а планетата не генерира термоядрена енергия и само преизлъчва енергията от звездата.

• В) t = 11h 51m между изгрева и залеза; 366.25 обиколки около Слънцето за една земна година.

А) След като планетата минава точно 1 път на ден пред диска на Слънцето, синодичният ѝ период спрямо Земята е T$_{syn}$ = 24 h. Следователно нейният орбитален период е T$_{P}$ = 23h 56m, което се намира от съотношението:

От III Закон на Кеплер определяме радиуса на орбитата на планетата около Слънцето:

Получаваме r = 2.922 × 10$^{6}$ km = 4.20 R$_{sol}$.

Ако разгледаме елемент S от повърхността на планетата в точка X, където Слънцето винаги е в зенита и създава осветеност E, получената от този елемент обща енергия от Слънцето за единица време е:

При достигане на равновесие абсолютно черно тяло би излъчвало цялата тази енерегия, съгласно закона на Стефан-Болцман:

От последните две уравнения получаваме:

Ако светимостта на Слънцето е L, то:

Заместваме и получаваме:

От закона на Стефан-Болцман:

Разделяме почленно двете равенства и намираме:

(5т.)

Б) Най-хладните звезди от главната последователност на диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел са с температура около 2600K. Температура 2815 K съответства на спектрален клас M7.5V.

Кафявите джуджета имат температури главно в интервала 1000-2500 K (спектрални класове L и T) и изстиват бързо с времето. Най-младите кафяви джуджета, които са се формирали наскоро, могат да имат температури около 2800 K и да бъдат от спектрален клас M.

Основният параметър, по който се различават планетите, кафявите джуджета и звездите, е масата. При звездите с маса над 0.077 слънчеви маси (над 80 маси на Юпитер) се създава достатъчно налягане в ядрото, за да се синтезира хелий от водород. Термоядреният синтез осигурява енергията за поддържане на равновесието на звездата, поради което червените джуджета имат много дълго време на живот.

При кафявите джуджета (маса 13-80 маси на Юпитер) се активизира само синтез на деутерий, но не и на хелий. Кафявото джудже излъчва енергията, произведена от този термоядрен синтез, както и енергията от своето продължаващо гравитационно свиване от времето, в което се е образувало. Това не са стабилни източници на енергия. Ето защо, температурата на кафявото джудже намалява драстично в първите около 100 милиона години от живота му.

Планетата не генерира енергия от термоядрен синтез и бързо след образуването си излъчва цялата енергия от гравитационното свиване. Горещата планета преизлъчва енергия от звездата. Тъй като е по-лесно да се откриват екзопланети близо до звездите, немалко от откритите екзопланети имат температури над 2000 K.

(5т.)

В) Изгрев на Земята от планетата ще се наблюдава при максимална източна елонгация на ъгъл $\theta$ на планетата за наблюдател от Земята. Залез ще се наблюдава при максимална западна елонгация $\theta$ на планетата. Между двете елонгации планетата изминава по орбитата си ъгъл $180 - 2\theta$

Времето t между източна и западна елонгация намираме от равенството:

Орбиталният период на планетата е равен на звездното денонощие (23h 56m), следователно за една земна година планетата ще прави 366.25 обиколки около Слънцето.

(5т.)