НОА 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 5. Voyager 2

• А) $\Delta E \approx 1.67 \times 10^{11}$ J (по разликите в кинетичните енергии) и $\Delta E \approx 1.68 \times 10^{11}$ J (по пълната механична енергия в точки 2 и 13) – практически същата стойност.

  Скорости, отчетени от графиката: $v_2$ = 9.45, $v_4$ = 19.68, $v_5$ = 15.48, $v_7$ = 20.32, $v_8$ = 17.85, $v_{10}$ = 19.66, $v_{11}$ = 18.82, $v_{13}$ = 16.67 km/s; $r_2$ = 5.27 AU, $r_{13}$ = 29.89 AU.

• Б) $5.16 \times 10^{-13}$ m

  Голямата полуос намалява – около 200 пъти по-малко от размера на водородния атом.

Участъците от графиката, отбелязани на фигурата по-долу с 1-2, 4-5, 7-8, 10-11 и от точка 13 нататък, отразяват движението на станцията Voyager 2 по инерция между планетите, под действие единствено на гравитацията на Слънцето. Участъците, означени с 2-3, 5-6, 8-9 и 11-12, съответстват на близкото гравитационно взаимодействие между станцията и всяка от четирите планети, при което скоростта на станцията се променя значително. При всяко от тези взаимодействия станцията се сближава с планетата и се ускорява в нейното гравитационно поле, или може още да се каже, че планетата „увлича“ станцията със себе си при своето орбитално движение около Слънцето. Тогава именно се осъществява ефектът на „гравитационна прашка“. Участъците 3-4, 6-7, 9-10 и 12-13 съответстват на интервалите, през които станцията, след като е получила значително повишение на скоростта си относно Слънцето, постепенно се отдалечава от планетата и в резултат от гравитационното привличане на планетата скоростта ѝ до известна степен намалява. Това продължава докато станцията се отдалечи на достатъчно голямо разстояние от планетата и доминиращият фактор, който определя нейното движение, отново става слънчевата гравитация. Оттук можем да направим извода, че в крайна сметка „спечелената“ енергия в резултат от близкото гравитационно въздействие на планетите се определя от разликите между скоростите на станцията в моментите 2 и 4 при преминаването покрай Юпитер, 5 и 7 при преминаването покрай Сатурн, 8 и 10 при преминаването покрай Уран и 11 и 13 при преминаването покрай Нептун. Виждаме също и че при последното взаимодействие станцията всъщност е загубила енергия. Това се е получило, понеже тогава е била извършена по-различна маневра, при която е била променена равнината на орбитата на станцията Voyager 2, така че тя да прелети над полюса на спътника Тритон.

Да означим скоростите на станцията в точките 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 и 13 съответно с v$_{2}$, v$_{4}$, v$_{5}$, v$_{7}$, v$_{8}$, v$_{10}$, v$_{11}$, и v$_{13}$. Определяме мащаба на графиката по вертикалната ос, измерваме отсечките, отговарящи на тези скорости и пресмятаме техните стойности:

Спечелената енергия от станцията след взаимодействието с четирите планети ще бъде:

където m е масата на станцията Voyager 2.

Друг начин да определим спечелената енергия е да намерим пълната механична енергия на станцията E$_{2}$ преди близкото взаимодействие с Юпитер и да я сравним с пълната механична енергия E$_{13}$ след взаимодействието с Нептун. За целта определяме мащаба по хоризонталната ос на графиката, измерваме и пресмятаме разстоянията на станцията до Слънцето в точки 2 и 13, означаваме ги с r$_{2}$ и r$_{13}$ и получаваме:

Означаваме с $M_\odot$ масата на Слънцето и за пълната механична енергия на станцията намираме:

Така получаваме приблизително същата стойност за спечелената енергия при маневрите на „гравитационна прашка“, извършени от станцията.

Пълната механична енергия на Юпитер преди взаимодействието със станцията е:

където $a = 5.20\ AU \approx 777.92 \times 10^{6}$ km е голямата полуос н орбитата на планетата. При преминаването покрай Юпитер космическата станция се ускорява и придобитата от нея допълнителна енергия е за сметка на намаляване на пълната механична енергия на Юпитер. След взаимодействието с Юпитер и отдалечаването на станцията от него пълната механична енергия на Юпитер е била:

където Δa е величината, с която намалява голямата полуос на неговата орбита около Слънцето. Оттук получаваме:

Получаваме удивителен резултат – голямата полуос на Юпитер намалява с величина, около 200 пъти по-малка от размера на водородния атом. Това разбира се, се дължи на колосалната маса на планетата Юпитер в сравнение с нашата космическа станция.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

• За правилен метод за определяне на спечелената енергия по първия начин, за измервания и изчисления – 5 т.
• За правилен метод за определяне на спечелената енергия, за измервания и изчисления – 5 т.
• За сравнение на резултатите – 1 т.
• За правилен начин за определяне на промяната на голямата полуос на орбитата на Юпитер – 3 т.
• За верен числен отговор – 1 т.