Съдържание

НОА 2021, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Свръхмасивни черни дупки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2021

XXIV Национална олимпиада по астрономия 2021, III кръг, ученици от 7-8 клас · 6 юни 2021 г. · 15 т.

Условие

3 задача. Свръхмасивни черни дупки. Почти всяка голяма галактика има в центъра си свръхмасивна черна дупка. Радиусът на една черна дупка е $R = R_S(M/M_S)$ , където $R_S$ е приблизително равно на 3 километра, M е масата на черната дупка, а $M_S$ е масата на Слънцето.

През 1999 г. астрономи установяват, че масата на черната дупка в центъра на дадена галактика е свързана с движението на звездите в балджа (централната част) на галактиката чрез следната приблизителна зависимост:

M/M_S = 3.1 \times 10^{8}\left(\frac{\sigma}{200\ km/s}\right)^{4}

В това уравнение $\sigma$ е дисперсията на скоростите на звездите – величина, която показва, с колко се различават хаотичните скорости на движение на звездите в балджа на галактиката една спрямо друга.

А) Дисперсията на скоростите на звездите в балджа на галактиката NGC 4374 е σ = 300 km/s. Пресметнете масата в слънчеви маси и радиуса в астрономически единици (AU), които се очаква да има черната дупка в центъра на тази галактика. Разстоянието Земя-Слънце е 1AU = $149.6 \times 10^{6}$ km. [5 т.]

Б) Ако поставим черната дупка от центъра на галактиката NGC 4374 на мястото на Слънцето, колко от осемте планети ще влязат в границите ѝ? А ако вместо нея, поставим на мястото на Слънцето черната дупка от центъра на галактиката Андромеда, колко от осемте планети ще влязат в границите ѝ? Черната дупка в ядрото на галактиката Андромеда (M31) е с маса 200 милиона пъти по-голяма от масата на Слънцето. [6 т.]

В) Черната дупка в ядрото на Млечния път е с маса около 4 милиона слънчеви маси. Кои типове космически обекти, наблюдавани от нас в нощното небе, могат да имат по-голяма маса от тази черна дупка? [4 т.]

Отговори

Решение

А) Заместваме дадената ни формула σ = 300 km/s и получаваме за масата на черната дупка в центъра на NGC 4374 в слънчеви маси:

\frac{M}{M_S} = 3.1 \times 10^{8}\left(\frac{300}{200}\right)^{4} = 1.57 \times 10^{9}

Заместваме този резултат във формулата за радиуса на черната дупка (известен още като радиус на Шварцшилд) и намираме:

R = R_S(M/M_S) = 1.57 \times 10^{9} \times 3\ \text{km} = 4.71 \times 10^{9}\ \text{km}

Превръщаме километрите в астрономически единици като разделим на $149.6 \times 10^{6}$ km и получаваме R = 31.5 AU. (5т.)

Б) Най-външната от 8-те известни планети в Слънчевата система, Нептун, има радиус на орбитата 30.1 AU. Следователно, всичките 8 планети биха влезли в границите на черната дупка от центъра на NGC 4374.

Поради малката разлика в стойностите, отговорът, че 7 от 8-те планети влизат в границите, също се счита за верен. Разстоянието Слънце-Уран е значително по-малко – средно 19.2 AU.

Отново със заместване в първата формула можем да получим радиуса на Шварцшилд за черната дупка в центъра на галактиката Андромеда:

R = R_S(M/M_S) = 200 \times 10^{6} \times 3 km

След превръщане на мерните единици получаваме R = 4.0 AU. В този радиус влизат планетите до Марс, включително, т.е. 4 от 8-те планети. Радиусът на орбитата на Юпитер е около 5.2 AU. (6т.)

В) Тъй като черните дупки се намират в галактики, лесно е да съобразим, че галактиките обикновено имат по-голяма маса.

Някои галактики имат активни ядра, в които около черната дупка има акреционен диск от бързо въртяща се гореща материя. Тези ядра могат да светят по-ярко от цялата останала галактика. Такива обекти са квазарите. Те приличат на звезди в нощното небе, но всъщност са ядра на галактики. Поради големите разстояния до тях, не могат да се наблюдават с просто око.

Кълбовидните звездни купове съдържат стотици хиляди до милиони звезди. Най-масивните от тях надвишават 4 милиона слънчеви маси. Най-масивният кълбовиден куп в Млечния път, Омега Центавър, има маса около 4 милиона слънчеви маси, но в други галактики има и по-масивни купове. (4т.)

Оригинал в Архива: 21-III-78.pdf · официални решения: a21-III-78.pdf