НОА 2021, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 5. Максимални елонгации

• А) По-дълъг е интервалът $T_{WE}$ (от максимална западна до максимална източна елонгация), т.е. $T_{EW} < T_{WE}$.

• Б) 0.5

  $\alpha = 60°$, $T_{EW}/T_{WE} = 120°/240° = 1/2$.

• В) 46 °

  От графиката $T_{EW}/T_{WE} \approx 0.324$, откъдето $\alpha \approx 44°$ и $\psi = 90° - \alpha = 46°$.

• Г) 0.72 AU

  $r_V = r_0\cos\alpha \approx 0.72$ AU; планетата е Венера.

Решение:

На схемата с $P_E$ и $P_W$ са означени съответно точките на източна и на западна елонгация на вътрешната планета или на астероида. Вътрешната планета се движи около Слънцето с по-голяма скорост, отколкото Земята. Около позицията на долно съединение тя ще „задминава“ Земята и следователно:

Нека $r_V = 0.5$ AU да бъде радиусът на орбитата на астероида, а $r_0 = 1$ AU да е орбиталният радиус на Земята. За ъгъла $\alpha$ можем да напишем:

От момента на максимална източна елонгация до максималната западна елонгация астероидът изминава ъгъл $2\alpha = 120°$ по своята орбита. Това е неговото движение относно Земята и ако искаме да намерим интервала $T_{EW}$ в абсолютни единици за време, трябва да използваме синодичния период на астероида. За време, равно на $T_{WE}$, астероидът изминава по своята орбита ъгъл $360° - 2\alpha = 240°$. Следователно:

Тъй като интервалът $T_{EW}$ е по-кратък от $T_{WE}$, от графиката за планетата можем да направим заключението, че положителните стойности на ъгъла $\psi$ съответстват на моментите на максимална западна елонгация, а отрицателните – на източна елонгация. Чрез измерване по хоризонталната ос на съответните интервали можем да получим, че за въпросната планета:

От фигурата е ясно, че:

Оттук намираме:

Накрая за ъгъла $\psi$ получаваме:

Радиусът на орбитата на планетата е:

Следователно планетата е Венера.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За отговор на въпроса кой интервал е по-дълъг и обяснение – 4 т.

За правилен метод за определяне на съотношението $T_{EW} / T_{WE}$ за астероида и верен числен отговор – 4 т.

За правилен метод за определяне на ъгъла $\psi$ и измервания по графиката – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За определяне на радиуса на орбитата на планетата – 2 т.

За отговор коя е планетата – 1 т.