Съдържание

НОА 2021, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Междузвездна мисия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2021

XXIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ, IV кръг, 22 юли 2021 г., Варна, теоретичен тур, Младша възраст · 22 юли 2021 г. · 15 т.

Условие

В бъдещето е изпратена роботизирана мисия до кафявото джудже DENIS 0255-4700 на разстояние 4.97 pc от Земята. Масата на DENIS 0255-4700 е около 45 Юпитерови маси, радиусът му е един Юпитеров радиус, температурата му е $1300\ \mathrm{K}$ . Мисията се състои от много лек летателен апарат, ускорен до постоянна скорост $45000\ \mathrm{km/s}$ , с малка управляема камера на борда, която наблюдава в инфрачервен филтър J.

А) Колко години преди летателният апарат да достигне DENIS 0255-4700 камерата му ще регистрира кафявото джудже и Слънцето (наблюдавано в обратна посока) като обекти с еднаква яркост? Звездната величина в J на DENIS 0255-4700 при наблюдение от Земята е $J_D = 13.2$ , а на Слънцето – $J_S = -27.93$ . [5 т.]

Б) С приближаването си към крайната цел камерата на борда на апарата засича транзити на планета пред диска на кафявото джудже веднъж на всеки $13.7\ \mathrm{d}$ . Определете видимата звездна величина на кафявото джудже, гледано от планетата, във филтър J. Направете обосновано предположение за видимата визуална звездна величина на кафявото джудже, гледано от планетата. Сравнете гледката от планетата със Слънцето, гледано от Земята. [6 т.]

В) При транзитите, които камерата регистрира докато апаратът е относително далече от кафявото джудже, изменението на неговия блясък е с амплитуда $0.015\ \mathrm{mag}$ . Ако масата на планетата е 2.0 земни маси, пресметнете средната ѝ плътност. Какви предположения можете да направите за химичния състав на планетата? [4 т.]

Справочни данни:

Маса на Слънцето – $1.99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$
Маса на Земята – $5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$
Маса на Юпитер – $1/1047$ слънчеви маси
Среден радиус на Юпитер – $69\ 900\ \mathrm{km}$
Фотосферна температура на Слънцето – $5770\ \mathrm{K}$
Гравитационна константа – $G = 6.67\ \times\ 10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}m^3s^{-2}}$

Отговори

Решение

Решение:

а) Намираме абсолютните звездни величини на Слънцето и на кафявото джудже във филтър J, използвайки формулата

J - M_J = 5\lg(r\ [\mathrm{pc}]) - 5.

Получаваме $M_{J\mathrm{sol}} = 3.64$ , $M_{J\mathrm{DENIS}} = 14.72$ . Намираме отношението на светимостите във филтър J от закона на Погсън:

\frac{L_{J\mathrm{DENIS}}}{L_{J\mathrm{sol}}} = 10^{0.4(M_{J\mathrm{DENIS}} - M_{J\mathrm{sol}})} = \frac{1}{27040}.

Тъй като за светимостта $L$ , светлинния поток $E$ и разстоянието $r$ важи

E = \frac{L}{4\pi r^2},

а осветеностите $E_J$ са равни, можем да пресметнем отношението на разстоянията от апарата до кафявото джудже и до Слънцето така:

\frac{r_{\mathrm{DENIS}}}{r_{\mathrm{sol}}} = \sqrt{\frac{L_{\mathrm{DENIS}}}{L_{\mathrm{sol}}}} = \frac{1}{164}.

Следователно в търсения момент разстоянието от апарата до кафявото джудже е 1/165-та част от разстоянието от Земята до кафявото джудже. Времето за изминаване на това разстояние със скорост $v = 0.15c$ е:

t = \frac{1}{165}\frac{r}{(0.15c)}.

Получаваме $t = \mathbf{0.655\ yr} = 239\ \mathrm{d}$ преди достигане на кафявото джудже.

б) Наблюдаваният период на транзитите е $P = 13.7\ \mathrm{d}$ , но той не съответства на истинския орбитален период поради крайната скорост на светлината. Между два последователни пасажа апаратът се е доближил до кафявото джудже с разстояние $vP$ , което се изминава от светлината за време $\Delta t = (v/c)P$ . Лъчите, засечени при първия пасаж, са излъчени $\Delta t$ по-рано, следователно това е разликата между наблюдавания и истинския период:

P_0 = P + \Delta t = P\left(1 + \frac{v}{c}\right) = 15.755\ \mathrm{d}.

Радиуса $R$ на орбитата на планетата около кафявото джудже намираме от III Закон на Кеплер:

\frac{R^3}{P_0^2} = \frac{GM}{4\pi^2} \quad\Longrightarrow\quad 6.445 \times 10^{6}\ \mathrm{km}.

Намираме видимата звездна величина в J, използвайки отново формулата за абсолютна звездна величина:

J - M_J = 5\lg(r[\mathrm{pc}]) - 5.

Използвайки абсолютна звездна величина $M_{J\mathrm{DENIS}} = 14.72$ , получаваме $\boldsymbol{J = -23.68}$ , което е сравнимо със Слънцето, гледано от Земята, но по-слабо.

Сега ще направим предположение и за визуалната звездна величина на джуджето. За да го аргументираме, ще намерим първо болометричната звездна величина на джуджето $M_{\mathrm{DENIS}}$ . Използвайки радиуса $R$ и температурата $T$ , можем да пресметнем светимостта $L$ на кафявото джудже в слънчеви светимости:

\frac{L_{\mathrm{DENIS}}}{L_{\mathrm{sol}}} = \left(\frac{R_{\mathrm{DENIS}}}{R_{\mathrm{sol}}}\right)^2\left(\frac{T_{\mathrm{DENIS}}}{T_{\mathrm{sol}}}\right)^4 = \frac{1}{38500}.

От закона на Погсън намираме болометричната звездна величина на кафявото джудже:

M_{\mathrm{DENIS}} = M_{\mathrm{sol}} - 2.5\lg\frac{L_{\mathrm{DENIS}}}{L_{\mathrm{sol}}}.

Получава се 16.21, което е по-слабо от абсолютната звездна величина 14.72 в $J$ . Това показва, че в инфрачервения диапазон кафявото джудже излъчва относително повече спрямо Вега, отколкото в целия спектър. Тогава е ясно, че във видимия диапазон кафявото джудже излъчва много по-малко, отколкото в $J$ . Добра оценка за визуалната абсолютна звездна величина би била $M_{V\mathrm{DENIS}} \sim 20\ \mathrm{mag}$ , т.е. около $\boldsymbol{V \sim -18}\ \mathbf{mag}$ , гледано от планетата – все още изключително ярко по небето на планетата. Това небе, ако има атмосфера, ще изглежда червено.

в) При транзити от планета с радиус $R_P$ ще остане непокрита част от диска на кафявото джудже $1 - \left(\frac{R_P}{R_{\mathrm{DENIS}}}\right)^2$ , което ще е и отношението на светлинните потоци в транзит и извън транзит. Затова

\Delta m = -2.5\lg\left(1 - \left(\frac{R_P}{R_{\mathrm{DENIS}}}\right)^2\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{R_P}{R_{\mathrm{DENIS}}} = 0.117 \quad\Longrightarrow\quad R_P = 8180\ \mathrm{km}.

Плътността пресмятаме от

\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R_P^3} = \mathbf{5.21\ g/cm^3}.

Това е сравнително висока плътност, следователно планетата е от земен тип. Може да се предположи, че е съставена главно от метали, с известни количества силиций и, евентуално, въглерод.

Александър Куртенков

Редакция

Редакция: Стефан Иванов.

Оригинал в Архива: 21-IV-teorML_final.pdf · официални решения: a21-IV-teorML.pdf