Съдържание

НОА 2021, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Планета около двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2021

XXIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ, IV кръг, 22 юли 2021 г., Варна, теоретичен тур, Младша възраст · 22 юли 2021 г. · 15 т.

Условие

Отношението на масите на компонентите в двойна звездна система е $M_2/M_1 = 0.7$ и разстоянието между тях не се променя. Планета обикаля около двойната звезда по външна орбита в орбиталната равнина на компонентите. От планетата редовно се наблюдават затъмнения на двете звезди една от друга. Главната компонента е по-гореща и по-голяма.

А) Ярко оранжев и много любознателен жител на планетата прави измервания на двойната система. Главната компонента има един и същ ъглов размер, гледана от периастрий на планетата, когато вторичната транзитира пред нея, и гледана от апоастрий на планетата, когато тя затъмнява вторичната. Когато вторичната компонента транзитира пред главната, вторичната е с 10% по-голяма на ъглов размер, гледана от периастрий, отколкото гледана от апоастрий на планетата. Намерете ексцентрицитета на орбитата на планетата. [5 т.]

Б) Ако двете звезди правят пълна обиколка една около друга за $6.35\ \mathrm{d}$ , а разстоянието между тях е $12.1 \times 10^{6}\ \mathrm{km}$ , намерете през какъв период от време оранжевият астроном посреща Нова година. [4 т.]

В) За земните наблюдатели системата е затъмнително двойна променлива звезда, а зрителният лъч от нас към нея лежи в орбиталната равнина на компонентите. Разликата между видимите звездни величини на променливата в главен и вторичен минимум е $0.33\ \mathrm{mag}$ . Ефективните температури на двете компоненти са $T_1 = 6030\ \mathrm{K}$ и $T_2 = 4980\ \mathrm{K}$ . Намерете отношението на радиусите на компонентите $R_2/R_1$ . [3 т.]

Г) Каква ще е разликата в звездни величини между блясъка на двойната звезда при главното и вторичното затъмнение, за ярко оранжевия наблюдател от планетата в периастрий? [3 т.]

Справочни данни:

Гравитационна константа – $G = 6.67\ \times\ 10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}m^3s^{-2}}$

Отговори

Решение

Решение:

а) След като разстоянието между компонентите не се променя, те се движат по кръгови орбити около центъра на масите с радиуси $r_1$ и $r_2$ . При наблюдение на затъмнения от планетата, тя се намира на една права с двете звезди. Нека голямата полуос на орбитата на планетата около центъра на масите е $a$ , а ексцентрицитетът е $e$ . По време на транзитиране на вторичната компонента пред главната, гледано от периастрий (PGE на чертежа), разстоянието планета – главна компонента е $r_P + r_1$ . По време на затъмнение на вторичната компонента от главната, гледано от апоастрий, (GEA на чертежа) разстоянието планета – главна компонента е $r_A - r_1$ . След като ъгловите размери на главната компонента в двете положения са равни, двете разстояния са равни. Заместваме с a и e и получаваме:

a(1 - e) + r_1 = a(1 + e) - r_1,

Чертеж: голяма окръжност (орбита на планетата) с точки P (периастрий, вляво) и A (апоастрий, вдясно); в центъра две малки концентрични окръжности около центъра на масите O с радиуси r1 и r2; на хоризонталния диаметър са отбелязани точките G, D, O, E, F; под чертежа отсечки с надписи a(1-e) и a(1+e).

\frac{r_1}{a} = e.

Когато вторичната компонента транзитира пред главната, гледано от периастрий (PGE на чертежа), разстоянието планета – вторична компонента е $r_P - r_2$ . Когато вторичната компонента транзитира пред главната, гледано от апоастрий (DFA на чертежа), разстоянието планета – вторична компонента е $r_A - r_2$ . За отношението на ъгловите размери на вторичната имаме:

\delta_P = 1.1\delta_A \quad\Longrightarrow\quad \frac{2R_2}{r_P - r_2} = 1.1\left(\frac{2R_2}{r_A - r_2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{r_A - r_2}{r_P - r_2} = 1.1,

a(1 + e) - r_2 = 1.1(a(1 - e) - r_2),

\frac{r_2}{a} = 1 - 21e.

Разделяме почленно двата израза за $r_1$ и $r_2$ , получавайки

\frac{r_1}{r_2} = \frac{e}{1 - 21e}.

Но тъй като за двойната система е изпълнено

\frac{r_1}{r_2} = \frac{M_2}{M_1} = 0.7,

Имаме $\frac{e}{1 - 21e} = 0.7$ . Решаваме и получаваме $e = \frac{7}{157} = \mathbf{0.0446}$ .

б) Известно е, че разстоянието между звездите е $r_1 + r_2 = 12.1 \times 10^{6}\ \mathrm{km}$ . От III закон на Кеплер за двете звезди намираме масата на системата:

\frac{(r_1 + r_2)^3}{{P_{12}}^2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2} \quad\Longrightarrow\quad M_1 + M_2 = 1.75\ M_{\mathrm{sol}}.

Щом като е вярно $\frac{r_2}{r_1} = \frac{M_2}{M_1}$ , то $\frac{r_2 + r_1}{r_1} = 1 + \frac{M_2}{M_1} = 1 + \frac{1}{0.7} = \frac{1.7}{0.7}$ . Тогава

r_1 = \frac{0.7}{1.7}(r_1 + r_2) = 5.0 \times 10^{6}\ \mathrm{km}.

Пресмятаме голямата полуос на планетата от израза $a = r_1/e$ . Получаваме $a = 0.747\ \mathrm{AU}$ . От III закон на Кеплер за планетата намираме орбиталния ѝ период P:

\frac{a^3}{P^2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2}.

Получаваме $\boldsymbol{P} = \mathbf{176\ d}$ .

в) Нека температурите на двете компоненти да са $T_1 = 6030\ \mathrm{K}$ и $T_2 = 4980\ \mathrm{K}$ . Ако гледано от Земята разликата в звездните величини е 0.33 mag, можем да напишем закона на Погсън, използвайки светлинните потоци $E_{\mathrm{T1}}$ и $E_{\mathrm{T2}}$ , които двете компоненти биха създавали поотделно, и радиусите им $R_1$ и $R_2$ :

\Delta m = -2.5\lg\frac{E_{T1}\left(1 - \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\right) + E_{T2}}{E_{T1}} = 0.33.

Тъй като двете компоненти са на равно разстояние от нас, отношението на потоците е равно на отношението на светимостите им $L_1$ и $L_2$ .

\left(1 - \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\right) + \frac{L_2}{L_1} = 10^{-0.4\times 0.33}.

От Закона на Стефан-Болцман

\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4.

Заместваме и решаваме за отношението на радиусите $R_2/R_1$ :

\left(1 - \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\right) + \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 10^{-0.4\times 0.33}.

Получаваме $R_2/R_1 = \mathbf{0.70}$ .

г) За разликата в звездните величини на двете затъмнения, гледани от периастрий, можем да напишем подобен израз, с разликата, че този път отношението на ъгловите размери не е равно на отношението на радиусите и частта от видимата площ на главната компонента, която се наблюдава, е $\left(1 - \left(\frac{\delta_2}{\delta_1}\right)^2\right)$ .

\Delta m_P = -2.5\lg\left(\frac{\frac{L_1}{(r_P + r_1)^2}\left(1 - \left(\frac{\delta_2}{\delta_1}\right)^2\right) + \frac{L_2}{(r_P - r_2)^2}}{\frac{L_1}{(r_P - r_1)^2}}\right),

\Delta m_P = -2.5\lg\left(\frac{(r_P - r_1)^2}{(r_P + r_1)^2}\left(1 - \left(\frac{R_2}{R_1}\left[\frac{r_P + r_1}{r_P - r_2}\right]\right)^2\right) + \frac{L_2}{L_1}\frac{(r_P - r_1)^2}{(r_P - r_2)^2}\right),

\Delta m_P = -2.5\lg\left(\frac{(r_P - r_1)^2}{(r_P + r_1)^2}\left(1 - \left(\frac{R_2}{R_1}\left[\frac{r_P + r_1}{r_P - r_2}\right]\right)^2\right) + \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4\frac{(r_P - r_1)^2}{(r_P - r_2)^2}\right).

В резултат $\Delta m_P = \mathbf{0.64\ mag}$ .

Александър Куртенков

Редакция

Редакция: Стефан Иванов.

Оригинал в Архива: 21-IV-teorML_final.pdf · официални решения: a21-IV-teorML.pdf