Съдържание

НОА 2021, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Звездата на смъртта и GRB

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2021

XXIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ, IV кръг, 22 юли 2021 г., Варна, теоретичен тур, Старша възраст · 22 юли 2021 г. · 15 т.

Условие

Във филма „Междузвездни войни” (1977 г.) фантастична бойна станция, наречена „Звездата на смъртта”, унищожава планетата Олдерон, като насочва към нея мощен зелен лазерен лъч.

А) Приемете, че масата на Олдерон е $0.9$ земни маси, а радиусът ѝ е $6250\ \mathrm{km}$ . За да се унищожи Олдерон, лазерното оръдие на „Звездата на смъртта” стреля в продължение на около $0.3\ \mathrm{s}$ . Оценете по порядък броя фотони в секунда, които лазерното оръдие изстрелва.

Дължината на вълната на монохроматичната зелена светлина е $550\ \mathrm{nm}$ . [4 т.]

Разбира се, построяването на толкова мощно оръжие е практически невъзможно. Но има явления в космоса, които са със сходна мощност и насоченост на потока. Такива са гама-избухванията (Gamma Ray Burst – GRB). При тях се наблюдава кратък и много силен проблясък в най-високоенергетичните електромагнитни вълни – гама-лъчите, което е последвано от по-дълго „послесветене” в целия останал електромагнитен спектър, включително в оптичния диапазон. Източникът изстрелва материя по конусовидни струи, наречени джетове. Там се образуват гама-лъчите, а при взаимодействието на част от гама-лъчите с междузвездния газ се поражда мощното послесветене.

Б) Гама-избухванията биват два основни вида: кратки (около 30% от всички) и дълги (около 70%). Кратките GRB са с продължителност под $2\ \mathrm{s}$ (средна продължителност $0.2\ \mathrm{s}$ ), а дългите са с продължителност над $2\ \mathrm{s}$ (средна продължителност $30\ \mathrm{s}$ ). Кратките GRB се пораждат при сливане на двойка неутронни звезди, докато дългите се пораждат при свръхмощна свръхнова с колапс на ядрото на масивна звезда. Обяснете количествено (с пресмятания) защо кратките GRB трябва да са породени от сливания на неутронни звезди, а не от масивна звезда. [3 т.]

В) Гама-избухването GRB 030329 е едно от по-близките засечени GRB – наблюдавано е в галактика с червено отместване $z = 0.169$ . Около 1 час след избухването оптичното послесветене е със звездна величина $V = 12.6$ . От какво разстояние GRB 030329 е било с видим блясък колкото Сириус, гледан от Земята? Сравнете това разстояние с разстоянията до близките галактики. [4 т.]

Г) Представете си, че има планета-двойник на Олдерон на $1\ \mathrm{AU}$ от GRB 030329, в конуса на избухването. Оценете за какво време планетата ще бъде унищожена от избухването. Ъгълът на върха на конуса на GRB 030329 е $2^{\circ}$ . Известно е, че значителна част от енергията на GRB се отделя в послесветене. [4 т.]

Справочни данни:

Маса на Слънцето – $M_{\odot} = 1.99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$
Маса на Земята – $M_E = 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$
Абсолютна визуална звездна величина на Слънцето – $M_{V\mathrm{sol}} = 4.84\ \mathrm{mag}$
Гравитационна константа – $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{kg^{-1}m^{3}s^{-2}}$
Константа на Планк – $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\ s}$

Отговори

Решение

Решение.

а) От съображения за размерности гравитационната потенциална енергия на сферично тяло с маса $M$ и радиус $R$ трябва да има вида

E_P = -k\frac{GM^2}{R},

тъй като всеки слой на тялото получава гравитационна потенциална енергия от вътрешните слоеве. За тяло с константна плътност $k = 3/5$ , но тъй като задачата е за оценка на порядък, всяка стойност на $k$ в интервала $0.1 - 1.0$ дава приемлив резултат.

Ако времето за унищожаване на връзките е $t = 0.3\ \mathrm{s}$ , необходимата мощност за разрушаване до потенциална енергия 0 е

P = -\frac{E_P}{t} = \frac{kGM^2}{Rt}.

Енергията на фотон при дължина на вълната $\lambda$ е

\varepsilon = \frac{hc}{\lambda}.

Тогава броят фотони в секунда от лазерното оръдие на Звездата на смъртта ще бъде:

\frac{\Delta n}{\Delta t} = \frac{P}{\varepsilon} = \frac{kGM^2\lambda}{hcRt} = 1.7 \times 10^{51}\ \mathrm{s^{-1}}.

Или, на порядък, $\mathbf{10^{51}}$ фотона в секунда.

б) Кратките GRB са със средна продължителност $t_s = 0.2\ \mathrm{s}$ . Следователно зоната, от която идват гама-лъчите, е изключително малка на размер. Тя не може да бъде по-голяма от $ct_S = 60000\ \mathrm{km}$ , тъй като за зона с по-голям размер сигналът ще пътува през самата зона по-дълго от 0.2 секунди.

в) От червеното отместване пресмятаме скоростта на отдалечаване на галактиката-домакин на избухването, а със закона на Хъбъл получаваме разстоянието до нея:

z = v_R c,

v_R = Hr.

Използвайки $H = 70\ \mathrm{km\ s^{-1}\ Mpc^{-1}}$ , получаваме разстояние $r = 724\ \mathrm{Mpc}$ . Можем да намерим абсолютната звездна величина на послесветенето по формулата

V - M_V = 5\lg(r\ [\mathrm{pc}]) - 5.

Получаваме $M_V = -26.70$ – значително по-мощно от последвалото лъчение от свръхновата. По същата формула намираме разстоянието, на което звездната величина на послесветенето е била равна на тази на Сириус, гледан от Земята ( $V_{\mathrm{Sirius}} = -1.5$ ). Получаваме $r_{-1.5} = \mathbf{1.1\ Mpc}$ – малко повече от разстоянието до галактиките Андромеда и M33.

г) По закона на Погсън оценяваме светимостта на послесветенето.

\frac{L_V}{L_{\mathrm{sol}}} = 10^{-0.4(M_V - M_{V\mathrm{sol}})} \approx 4 \times 10^{12}.

Това е груба и занижена оценка, тъй като послесветенето е налично във всички диапазони, от рентген до радио, докато Слънцето е относително мощно във V филтър.

Значителна част от енергията в (единия) конус на избухването се отделя в послесветене. В първо приближение нека приемем, че е 50%. С тези две съображения можем да направим консервативната оценка, че мощността на заредените частици в конуса на избухването, от които се формират гама-лъчите, е поне $10^{14}\ \mathrm{L_{sol}}$ .

При ъгъл на колимация 2° сечението на конуса на разстояние 1 AU от източника е кръг с радиус $S = \pi\left(2\frac{\pi}{180}\right)^2\ \mathrm{AU}^2$ , а сечението на Олдерон би било $\pi R^2$ . Мощността, която Олдерон ще поема на разстояние 1 ly от източника ще бъде

L \approx \frac{\pi R^2}{S} \times 10^{14}\ \mathrm{L_{sol}}.

Времето за разрушаване можем да оценим със съображенията от подусловие а):

L = -\frac{E_P}{t} = \frac{kGM^2}{Rt},

t = \frac{kGM^2}{RL} = \frac{kGM^2S}{\pi R^3 L_{\mathrm{sol}}}10^{-14} \approx \mathbf{1\ ms}.

За време от порядъка на 1 милисекунда планетата няма да може да преизлъчи значително количество енергия и ще бъде разрушена.

Александър Куртенков

Редакция

Редакция: Стефан Иванов.

Оригинал в Архива: 21-IV-teorST.pdf · официални решения: a21-IV-teorST.pdf