НОА 2021, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Космическа засада

• А) r = 3.60 AU; Марс се вижда в Стрелец
• Б) Лъв
• В) 3
• Г) 5

Решение.

а) На схемата са показани Слънцето $S$, Марс $M$, Церера $C$ и станцията $A$ при геометрията от условието. Движението около Слънцето става обратно на часовниковата стрелка.

Има вариант задачата да се реши с многократно прилагане на синусова теорема и косинусова теорема – намираме последователно $\measuredangle SMC$, $\measuredangle AMC$, $\measuredangle CAM$, $MC$, $AM$, $AS$, $\measuredangle MAS$. Това обаче е ненужно и отговорът може да бъде получен без радиуса на орбитата на Церера. Забелязваме, че от точки $C$ и $M$ отсечката $AS$ се вижда под един и същ ъгъл, тоест четириъгълникът $CASM$ е вписан. Съответно $SM$ се вижда под един и същ ъгъл от $C$ и $A$, тоест на чертежа $\delta = \alpha$. Затова радиусът на орбитата на станцията е

Марс е в направлението, в което ще се наблюдава Слънцето след завъртане на станцията с ъгъл $\delta$. Когато Земята се завърта с такъв ъгъл по орбитата си, това съответства на $\left(\frac{\delta}{360^{\circ}}\right)T_E = 25.4\ \mathrm{d}$. От Земята – Скорпион 23.11-29.11, Змиеносец 30.11-17.12, Стрелец 18.12-18.01. Съответно в нашия случай Марс е в Стрелец$^{1}$.

б) Скоростта по началната орбита е

Точката на обстрел $A$ е пресечна между старата и новата орбита на станцията. Съгласно условието векторът на скоростта след обстрел е успореден на апсидната линия на новата елиптична орбита. Това е възможно единствено когато $A$ се явява пресечна точка на елипсата с малката ѝ полуос. Геометрично свойство на елипсата е, че такава точка се намира на разстояние $a$ от фокусите, където $a$ е голямата полуос на елипсата. Затова голямата полуос на новата елиптична орбита е $a = r = 3.60\ \mathrm{AU}$. Скоростта точно след обстрел по новата орбита е

тоест се променя само посоката, а не и големината.

Ударът със снаряда е абсолютно нееластичен, но масата му е пренебрежимо малка. Може да приемем, че след удара векторът на импулса на станцията също не променя големината си. Но този вектор ще е сбор от съответните вектори за снаряда и станцията, с големини съответно

Промяната в импулса при удара става по показания начин.

За фиксирани големини $p$ и $p_A$ са възможни два начина за удар, запазващ големината на импулса на станцията (пресечни точки на две окръжности), но само този на диаграмата отговаря напълно на условието. Ако векторът на импулса на станцията сключва остър ъгъл с радиус-вектора, станцията първо ще достигне перихелий по новата си орбита, и чак след това афелий (от чертеж). Обратно, при тъп ъгъл се достига първо афелий и после перихелий. Но и при двата варианта именно втората по ред екстремална точка е тази, при която ще има окултация. Ъгълът на отклонение на станцията е

Направлението към звездата съответства на $\left(\frac{90^{\circ} - \beta}{360^{\circ}}\right)T_E = 76.5\ \mathrm{d}$ назад от Скорпион, тоест звездата е от Лъв.

в) Записваме закона за запазване на енергията, за да намерим необходимата скорост $v$ след обстрел:

Това съответства на импулс с големина $p_1 = mv = 2.52 \times 10^{7}\ \mathrm{N \cdot s}$. За да бъде получен такъв импулс, е нужна промяна в началния вектор на импулса чрез удари. Трябва върхът на вектора да попадне върху окръжност $c$ с радиус $p_1$. Ще разгледаме какви импулси на станцията са позволени след даден брой удари. Ударите внасят промени с еднаква големина $p_A$. След първия удар достъпните състояния лежат върху окръжността $c_1$, имаща радиус $p_A$. При втория удар на всяка от „стартовите“ точки върху $c_1$ може да се припише аналогична $c_2$. Достъпните състояния са обединението на всички такива $c_2$, което е кръг с радиус $2p_A$ около върха на началния вектор на импулса. Аналогично, след $N$ удара достъпните състояния лежат в кръг с радиус $Np_A$.

Сега е видно, че импулс с големина $p_1$ може да бъде получен, когато въпросният кръг за първи път застъпи окръжността $c$. Това става за най-малкото $N$, при което

Така $\boldsymbol{N = 3}$.

Но на този етап не е очевидно, че орбитата на Юпитер наистина ще се пресича от станцията. Законът за запазване на енергията не е единственото условие върху формата на орбитите и може да се окаже, че сме го записали за точка, която по начало няма как да принадлежи на орбитата на станцията. За проверката трябва да забележим, че $v > \sqrt{2}v_0$, тоест орбитата е хиперболична. А незатворена орбита със сигурност пресича орбитата на Юпитер.

г) Съображенията от предишната подточка важат и тук – отново е нужно върхът на вектора на импулса на станцията след обстрел да лежи върху $c$. Но в новата ситуация има и допълнително условие поради необходимостта да се запази моментът на импулса, тоест произведението на тангенциалната компонента на импулса $p_{\tau}$ и разстоянието до Слънцето:

Нужен ще ни е ъгълът на отклонение $\gamma$ на $\overrightarrow{p_1}$ от направлението на $\overrightarrow{p_0}$. За него имаме

Разстоянието от върха на вектора $\overrightarrow{p_1}$ до върха на $\overrightarrow{p_0}$ е

Пресмятаме $\Delta p/p_A = 4.89$. Затова $\boldsymbol{N = 5}$.

Стефан Иванов

$^{1}$ Отговор „Змиеносец“ да се приема само при коментар, че в такъв случай Марс е точно на границата със Стрелец.

Критерии за оценяване (общо 15т.):

а) – За правилно намерен радиус на орбитата $r$ – 2т.
– За съзвездието на Марс – 1т.

б) – За доказателство, че големината на скоростта се запазва – 2т.
– За намиране на големината на ъгъла на отклонение – 2т.
– За съзвездието на звездата (вкл. проверка за посока на $\beta$) – 1т.

в) – За намиране на скоростта след обстрел $v$ – 1т.
– За намиране на $N$ чрез геометрична аргументация – 2т. (0т. без аргументация)
– За проверка дали орбитата на Юпитер се пресича – 1т.

г) – За закон на запазване на момента на импулса – 1т.
– За правилна стойност на $N$ – 2т.