НОА 2021, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Наблизо и надалеч

• А) 25800 yr
• Б) 133 °
• В) 210 yr
• Г) да

Решение.

а) Звездната година $T_s$ е периодът между две преминавания на Слънцето през едно и също положение спрямо звездите. Тропическата година $T_t$ е периодът между две преминавания на Слънцето през пролетната равноденствена точка. Причината $T_t$ да е по-кратка от $T_s$ е, че пролетната равноденствена точка се движи по еклиптиката в направление, противоположно на движението на Слънцето по еклиптиката. Движението на точката е резултат от прецесията на земната ос, и има същата периодичност $T_p$. Така тропическата година може да се разглежда като синодичен период на $T_s$ и $T_p$ (съответстващи на движения в обратни направления):

б) Първо е нужно да добием геометрична представа за влиянието на прецесията върху екваториалните координати. На чертежа са показани небесният екватор $QQ'$ и еклиптиката $\varepsilon\varepsilon'$, заедно с равноденствените точки $\gamma$ и $\Omega$. Имайки предвид посоката на движение на Слънцето по еклиптиката, може да укажем и посоката на движение на равноденствените точки. При това движение небесният екватор и небесната ос се преместват спрямо фиксираните звезди, и екваториалните координати на тези звезди се променят.

За удобство може да не разглеждаме движението на екватора с ъглова скорост $\omega_p = 2\pi/T_p$ спрямо звездите, а да „задържим“ екватора на едно място на чертежа, наблюдавайки как звездите се движат спрямо него с ъглова скорост $\omega_p$ в обратната посока. Траекториите, които звездите описват, са малки кръгове, успоредни на еклиптиката, и по тях може да се изследва промяната на екваториалните координати с времето.

Всеки набор екваториални координати $(\alpha, \delta)$ принадлежи на конкретен малък кръг. За да може едната звезда ($A$) да придобие координатите на другата ($B$) в кой да е момент, непременно трябва $A$ се намира върху малкия кръг на $B$. И за да може да има размяна на координатите, двете звезди трябва да отстоят на $180^{\circ}$ по този малък кръг.

Малкият кръг под въпрос по условие пресича небесния екватор. Това става в две точки, които означаваме с $C$ и $D$. Знаем, че дъгата $\overset{\frown}{ACDB}$ има мярка $180^{\circ}$. От друга страна,

тоест $\overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{DB} = 180^{\circ}$ и остава $\overset{\frown}{CD} = 0^{\circ}$. Затова малкият кръг на $A$ и $B$ пресича небесния екватор на еклиптична ширина $\beta = \pm\varepsilon = \pm 23.5^{\circ}$. Отчитайки, че двете звезди са на $180^{\circ}$ по кръга,

в) По условие няма да отчитаме нутацията по ширина и полодията (паралаксът така или иначе няма значение, тъй като паралактичната елипса има малка ос 0 около еклиптиката). Височината на кулминация за фиксирана ширина се определя единствено от деклинацията на звездата. Промените в деклинацията се определят от собственото движение по деклинация и прецесията. Нека разликата в деклинациите на $A$ и $B$ е $\Delta\delta \equiv \delta_B - \delta_A$, а собствените движения по деклинация са съответно $\mu_{\delta A}$ и $\mu_{\delta B}$. Условието твърди, че след време $t_1{}'$ деклинацията на $A$ ще нарасне с $\Delta\delta$ и че преди време $t_2{}'$ деклинацията на $B$ е била с $\Delta\delta$ по-малка.

Имайки предвид, че $A$ и $B$ са около точката $\gamma$, скоростта на промяна в екваториалните координати поради прецесията се разлага на компоненти $+\omega_p\cos\varepsilon$ по ректасцензия и $+\omega_p\sin\varepsilon$ по деклинация. Записваме съответните уравнения:

Двете звезди ще кулминират на еднаква височина, когато деклинацията им се изравни. Това става след време $\Delta t$, за което

От заместване на първите две уравнения в третото намираме

което е формула за синодичен период ($\frac{1}{\Delta t} = \frac{1}{t_1'} - \frac{1}{t_2'}$). Получаваме

г) Разлика в кулминациите от 2 секунди съответства на разлика в моментните ректасцензии на звездите от

където сме отчели разликата между звездно и слънчево денонощие.

Ще проверим дали подходящо наслагване на всички налични ефекти за време $T_E/2$ може да промени ректасцензията на $A$ с $\Delta\alpha$. На първо място имаме промяна промяна в ректасцензията поради прецесия, с големина $\frac{\omega_p T_E}{2}\cos\varepsilon = 23.03''$. Имаме и промяна от собственото движение на $A$, с големина $\frac{\mu_{\alpha A}T_E}{2} = 3.76''$.

Още един ефект, който ще отчетем, е нутацията по дължина. Във връзка с нея в рамките на една година може да има значителна промяна в положението на пролетната равноденствена точка и съответно в измерената ректасцензия. За да намерим максималната възможна промяна в рамките на половин година, измерваме по графиката на нутацията максималния наклон, получавайки стойност $\nu = 5.40''/\mathrm{yr}$. За половин година може да „спечелим“ ректасцензия до $\frac{\nu T_E}{2} = 2.70''$.

Паралаксите на звездите също допринасят към промяната в ректасцензията. На схемата са показани оптималните начални положения по паралактичните елипси, така че за 6 месеца да се „спечели“ най-много ректасцензия. Отстоянието между $A$ след 6 месеца и $B$ в момента тогава ще намалява с $\Delta\pi = 2\pi_A = 1.17''$.

На този етап общо се събира промяна

Отговорът е да; няма нужда да се отчитат по-малки влияния като компонентата на полодията по дължина ($< 0.5''$).

Стефан Иванов

Критерии за оценяване (общо 15т.):

а) – За разбиране на смисъла на звездната и тропическата година – 1т.
– За намиране на периода на прецесия – 2т.

б) – За правилен геометричен модел на прецесията – 1т.
– За разпознаване, че звездите отстоят на $180^{\circ}$ по малък кръг – 1т.
– За намиране на еклиптичната ширина – 2т. (1т. без обосновка)
– За верен отговор – 1т.

в) – За вярно записани уравнения на движение – 2т. (1т. без прецесия)
– За верен отговор – 1т.

г) – За правилно отчетена прецесия – 1т.
– За правилно отчетена нутация – 1т.
– За правилно отчетен паралакс – 1т.
– За правилен отговор – 1т.