Съдържание

НОА 2022, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Планета с две луни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV Национална олимпиада по астрономия 2022, III кръг, ученици от 9-10 клас · 7 май 2022 г. · 12 т.

Условие

Гористата планета е обрасла с огромни дървета, подобни на нашите секвои. Жителите на планетата използват като единица мярка за разстояние височината на най-високото дърво. Ще наречем тази единица „секвоя“, понеже нейното име на местния език е непроизносимо за нас. Известно е, че радиусът на Гористата планета е равен на 30 000 секвои. Обитателите на планетата използват като единици за измерване на времето своите денонощия.

Около планетата обикалят две луни. Те се движат по кръгови орбити, лежащи в екваториалната равнина на планетата, в същата посока, в която става и околоосното въртене на планетата.

Разликата между слънчевото и звездното денонощие на Гористата планета е пренебрежимо малка.

А) Главният астроном на Гористата планета живее на малък остров в обширно езеро, за да не му пречат дърветата по време на наблюденията. Езерото е на екватора. Астрономът е установил, че времето от изгрева до залеза на Червената луна е равно на 1 денонощие, а от залеза до следващия изгрев – на 2 денонощия. Определете радиуса на орбитата на Червената луна в единици секвои.

Б) Времето между два последователни изгрева на Синята луна е 1.125 денонощия. Определете радиуса на нейната орбита в единици секвои.

Отговори

Решение

На схемата с точка A е означено положението на главния астроном на Гористата планета. При изгрева си Червената луна е в точка B′ от своята орбита, а при залеза си – в точка B″. Щом от изгрева до залеза на Червената луна изминава едно денонощие, а от залеза до изгрева – две денонощия, Червената луна се намира през една трета от времето над хоризонта за наблюдателя A и две трети от времето – под хоризонта. Това означава, че ъгълът B′OB″ е равен на 120°. Следователно ъгълът B′OA е равен на 60°, а ъгълът AB′O е равен на 30°. Оттук заключаваме, че радиусът на орбитата на Червената луна $r_1$ е два пъти по-голям от радиуса на планетата R. Така намираме:

r_1 = 2R = 60\,000\ \text{секвои}

Времето между два изгрева на Червената луна е $T_1{}' = 3$ денонощия, а между два изгрева на Синята луна е $T_2{}' = 1.125$ денонощия. Това обаче не са истинските орбитални периоди на двата спътника на Гористата планета. Те са свързани с въртенето на самата планета. Ако означим нейния период на околоосно въртене с $T_0 = 1$ денонощие, то за истинските орбитални периоди $T_1$ и $T_2$ на Червената и на Синята луна можем да напишем:

\frac{1}{T_1{}'} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_1}

\frac{1}{T_2{}'} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_2}

От тези равенства получаваме:

T_1 = \frac{T_1{}'\,T_0}{T_1{}' - T_0} = 1.5\ \text{денонощия}

T_2 = \frac{T_2{}'\,T_0}{T_2{}' - T_0} = 9\ \text{денонощия}

Схема: сива окръжност „Гористата планета“ с център O и радиус R, наблюдател A на повърхността, външна окръжност „орбита на Червената луна“ с радиус r₁ и точки B′ и B″ върху нея.

Сега вече, като знаем радиуса на орбитата на Червената луна, можем да намерим радиуса на орбитата на Синята луна $r_2$ чрез третия закон на Кеплер:

\frac{r_1^{\,3}}{T_1^{\,2}} = \frac{r_2^{\,3}}{T_2^{\,2}}

r_2 = r_1\cdot\sqrt[3]{\frac{T_2^{\,2}}{T_1^{\,2}}} \approx 198\,000\ \text{секвои}

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За верен начин за намиране на радиуса на орбитата на Червената луна – 4 т.
За числен отговор – 1 т.
Б) За разбирането, че трябва да се намерят истинските орбитални периоди на спътниците – 1 т.
За алгебрични преобразувания и пресмятания – 3 т.
За определяне на радиуса на орбитата на Синята луна – 3 т.

Оригинал в Архива: 22-III-910-teor.pdf · официални решения: a22-III-910-teor.pdf