Съдържание

НОА 2022, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Планетата GJ 367b

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV Национална олимпиада по астрономия 2022, III кръг, ученици от 9-10 клас · 7 май 2022 г. · 13 т.

Условие

Звездата GJ 367 е червено джудже, намиращо се в съзвездието Голяма мечка и отдалечено на около 30 светлинни от нас. Масата на червеното джудже е 0.454 слънчеви маси, а радиусът му е 0.457 слънчеви радиуса. Около него е открита планета, означавана като GJ 367b. Тя се движи около звездата по кръгова орбита с период 7.7 часа. Разстоянието между звездата и планетата е $1.085\times10^{6}$ km. Зрителният лъч от земния наблюдател лежи почти в орбиталната равнина на планетата.

Крива на блясъка: светлинен поток в относителни единици от 0.9984 до 0.9989 срещу фаза от −0.20 до 0.20, с плоско ниво около 0.99875 и спад до около 0.99853 между фази −0.04 и +0.04. — Крива на блясъка на звездата GJ 367 по време на пасаж на планетата.

А) В приложението след условията на задачите ви е дадена крива на блясъка на звездата по време на пасаж (преминаване) на планетата пред диска на звездата. Направете необходимите измервания и определете радиуса на планетата.

Крива на лъчевата скорост в m/s от −3 до 3 срещу фаза от −0.1 до 1.1; синусоида с двойна амплитуда около 1.6 m/s и осреднени точки с грешки. — Крива на лъчевата скорост на звездата GJ 367.

Б) Планетата не се наблюдава пряко. Но изключително точните спектрални наблюдения на звездата показват, че тя изпитва гравитационно влияние от страна на планетата. Звездата се движи около общия център на масите на системата звезда-планета. Разполагате също и с крива на изменението на лъчевата скорост на звездата. Използвайте тази крива и определете масата на планетата.

В) Пресметнете средната плътност на планетата. Какво бихте предположили за нейния химически състав?

Отговори

Решение

Схема: голяма окръжност, означена „Звезда“, и малък запълнен кръг „Планета“ върху хоризонтална стрелка, минаваща през центъра. — Планетата пред диска на звездата по време на пасаж.

Когато планетата преминава пред звездата, тя закрива част от нейния видим диск и блясъкът на звездата намалява. Означаваме с $R_0$ радиуса на звездата, а с $R$ радиуса на планетата. Ще приемем, че светлинният поток на единица площ, идващ от звездата към нас, е пропорционален на площта на видимия диск на звездата. Нека $I_0$ е светлинният поток, създаван от звездата, когато планетата не преминава пред нея, а $I$ светлинният поток от звездата по време на пасаж на планетата.

Тогава е в сила следното съотношение:

\frac{I}{I_0}=\frac{\pi R_0^{\,2}-\pi R^2}{\pi R_0^{\,2}}=1-\left(\frac{R}{R_0}\right)^{2}

Оттук получаваме:

R=R_0\sqrt{\frac{I_0-I}{I_0}}=R_0\sqrt{\frac{\Delta I}{I_0}}\qquad(1)

По вертикалната ос на кривата на блясъка на звездата е нанесен светлинният поток в относителни единици. Измерваме с линийка и определяме мащаба на оста – на 0.0005 относителни единици отговарят 41.7 mm. Хоризонталните участъци от кривата показват блясъка на звездата извън времето на пасажа на планетата, или светлинния поток $I_0$ .

Същата крива на блясъка, върху която е нанесена вертикална двупосочна стрелка ΔI между нивото извън пасажа и дъното на спада.

Измерваме разликата в светлинния поток от началото на координатната ос (0.9984 относителни единици) до нивото на хоризонталните участъци от кривата, използваме мащаба и получаваме:

I_0 = 0.9984\ \text{отн. единици} + 34\ \text{mm}\cdot\frac{0.0005\ \text{отн. единици}}{47.5\ \text{mm}} \approx 0.99876\ \text{отн. единици}

Измерваме по графиката намалението на потока от звездата $\Delta I = I_0 - I$ по време на пасажа и получаваме:

\Delta I = 20\ \text{mm}\cdot\frac{0.0005\ \text{отн. единици}}{47.5\ \text{mm}} \approx 0.00021\ \text{отн. единици}

Заместваме тези стойности във формула (1), използваме данните за радиуса на звездата и радиуса на Слънцето и получаваме радиуса на планетата:

R \approx 4\,600\ \text{km}

Тъй като зрителният лъч от земния наблюдател лежи почти в орбиталната равнина на планетата, можем да считаме, че максималната наблюдавана стойност на лъчевата скорост на звездата е равна на нейната орбитална скорост $v$ при движението ѝ около центъра на масите на системата. По графиката на лъчевата скорост определяме мащаба на вертикалната ос – на 5 m/s отговарят 57.5 mm. Измерваме двойната амплитуда на лъчевата скорост, която се равнява на $2v$ и получаваме:

2v = 18\ \text{mm}\cdot\frac{5\,\text{m/s}}{57.5\ \text{mm}}

v \approx 0.78\ \text{m/s}

Означаваме орбиталния период с $T$ и за радиуса $r_0$ на орбитата на звездата около общия център на масите можем да напишем:

vT = 2\pi r_0

Оттук намираме:

r_0=\frac{vT}{2\pi}\approx 3450\ \text{m}

Дадено ни е разстоянието между звездата и планетата. Да означим това разстояние с $r$ , а масите на звездата и планетата съответно с $M_0$ и $M$ . Съгласно правилото на лоста е в сила равенството:

M_0 r_0 = M(r-r_0)

Оттук получаваме:

M = M_0\cdot\frac{r_0}{r-r_0}\approx M_0\cdot\frac{r_0}{r}

Като използваме данните за масата на звездата в слънчеви маси и масата на Слънцето, пресмятаме масата на планетата:

M \approx 2.9\times10^{24}\ \text{kg}

За средната плътност на планетата можем да напишем:

\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} \approx 7\times10^{3}\,\text{kg/m}^{3}

Тази планета е по-плътна от Земята. Всъщност нейната средна плътност е сравнима с плътността на желязото. Предполага се, че тя е подобна на Меркурий – има обширно желязно ядро, покрито с относително тънък слой скално вещество. Поради това, че планетата е изключително близо до звездата се смята, че външните ѝ слоеве са били изпарени и ответи от лъчението на звездата.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За правилен теоретичен метод за определяне радиуса на планетата – 2 т.
За измервания и изчисления – 2 т.
За краен числен резултат – 1 т.
Б) За правилен теоретичен метод за определяне масата на планетата – 2 т.
За измервания и изчисления – 2 т.
За краен числен резултат – 1 т.
В) За пресмятане на средната плътност – 2 т.
За разсъждения относно състава на планетата – 1 т.

Оригинал в Архива: 22-III-910-teor.pdf · официални решения: a22-III-910-teor.pdf