Съдържание

НОА 2022, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Космически сблъсък

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV Национална олимпиада по астрономия 2022, III кръг, ученици от 9-10 клас · 7 май 2022 г. · 13 т.

Условие

През 1992 г. при сближаването на кометата P/Shoemaker-Levy 9 с Юпитер, нейното ядро беше разрушено от приливните сили на гигантската планета и се разпадна на множество отломъци. Впоследствие между 16 и 22 юли 1992 г. те се сблъскаха с Юпитер и това беше едно от най-впечатляващите астрономически зрелища, които сме наблюдавали някога.

Справочни данни:

Радиус на Слънцето – 696 000 км
Маса на Слънцето – $2\times10^{30}$ kg
Маса на Юпитер – $1.9\times10^{27}$ kg;
Радиус на Юпитер – 71500 km;
Период на въртене на Юпитер – 10 часа;
Гравитационна константа $6.67\times10^{-11}$ m $^3$ .kg $^{-1}$ .s $^{-2}$ .

А) Нека приемем, че всеки отломък от кометното ядро се е движил по параболична орбита относно Юпитер. Нека върхът на параболата (точката на най-голямо сближаване с Юпитер) се намира на разстояние от центъра на Юпитер, равно на неговия радиус. Пресметнете скоростта на отломъка в тази точка в km/s. Сравнете тази скорост със скоростта на точка от екватора на планетата при нейното околоосно въртене. Съществен ли е ефектът от околоосното въртене на Юпитер за последствията от сблъсъците с кометните отломъци? [3 т.]

Б) Фрагментите от кометното ядро, сблъскващи се с Юпитер, са имали диаметър от порядъка на 1 km. Кометните ядра имат средна плътност 500 kg/m $^3$ . Пресметнете масата на един такъв фрагмент и кинетичната му енергия при сблъсъка с планетата. [3 т.]

В) В резултат от сблъсъците в атмосферата на Юпитер се появиха огромни плътни облаци с размер от порядъка на 1000 km. Облаците на Юпитер имат дълбочина от порядъка на 20 km. С помощта на спектрални наблюдения е било определено, че температурата на образувалите се облаци е била от порядъка на 10 000°C. На височината на облаците атмосферата на Юпитер има средна плътност 3.6 kg/m $^3$ , топлинен капацитет $1.2\times10^{2}$ J/(kg.K) и средна температура преди сблъсъка –100°C. Каква енергия е била нужна, за да се произведе нажеженият облак, наблюдаван след падането на даден кометен отломък в атмосферата на Юпитер? Сравнете тази енергия с кинетичната енергия на кометния отломък. Коя от двете енергии е по-голяма? Обяснете защо. [4 т.]

Г) Съвременните ядрени оръжия произвеждат експлозии с енергии от порядъка на $4\times10^{15}$ J. Колко пъти по-мощни са експлозиите от падащите фрагменти на Юпитер в сравнение с това? Експлозията причинила масовото измиране на живите организми, включително и динозаврите, преди 65 милиона години е била предизвикана от астероид, който се е сблъскал със Земята и е имал кинетична енергия от порядъка на $4\times10^{23}$ J. Сравнете тази енергия с енергията при взривовете на кометните отломъци в атмосферата на Юпитер. Коя експлозия е била по-мощна и защо? [3 т.]

Отговори

Решение

Решение (13т.):

А) Пълната енергия (гравитационна + кинетична) на параболично движещ се обект е 0. Тоест, можем да напишем уравнението за запазване на енергията:

\frac{v_{\text{периапсида}}^{2}}{2} = GM_J/R_J

където, $M_J$ е масата на Юпитер; :G е гравитационната константа; $R_J$ е радиусът на Юпитер. Скоростта на кометата в периапсидата е:

v_{\text{периапсида}} = sqrt\left(\frac{2GM_J}{R_J}\right) = 59.5\ km/s

Околоосното въртене на Юпитер има скорост $v_r$ :

v_r = \frac{2\pi R_{\text{юпитер}}}{T_{\text{Юпитер ден}}} = 12.5\ \text{км/с}

Ефектът от въртенето на Юпитер е значителен (около 1/5 от скоростта на кометата). Въпреки това, ако съберем скоростите перпендикулярно, околоосното въртене допринася само 5% от тоталната енергия. Но ако приемем, че кометата има скорост паралелна на въртенето, тогава този ефект допринася близко 40% повече енергия в сблъсъка. За останалата част, приемаме, че въртенето не допринася значително за кинетичната енергия на сблъсъка. (3т.)

Б) Масата на фрагментите е (приемайки, че са кубове със страна от порядъка на 1 км, но приемайки, че са сфери е също толкова валидно решение):

M_{\text{комета}} = L^{3}*\rho = (1000\,\text{м})^{3}*500\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}} = 5*10^{11}\text{кг}

Кинетичната енергия на сблъсъка е:

\text{E}_{\text{комета}} = \frac{\text{M}_{\text{комета}}*v_{\text{комета}}^{2}}{2} = 9*10^{21}J

(3т.)

В) Масата на нажежените облаци е:

\text{M}_{\text{облак}} = \rho * L^{2} * h = 0.36\frac{kg}{m^{3}} * 10^{6}m * 10^{6}m * 2*10^{4}m = 7.2*10^{15}kg

Топлинната енергия, която е нужна за нагряването на облак с тази маса е:

\text{E}_{\text{топлинна}} = \text{M}_{\text{облак}} * C_{\text{облак}} * \Delta\text{T}_{\text{облак}} = 7.2*10^{15}kg * 10^{4}K * 1.2*\frac{10^{2}J}{K.kg} = 8.64*10^{21}J

Да, двата резултата са съвместими. Малката разлика в числените резултати е поради неточността в определянето на размерите на нажежените газови облаци, тяхната плътност и изключително променлив топлинен капацитет. (4т.)

Г) Енергията на падащите кометни фрагменти върху Юпитер е от порядъка на 2 милиона ( $2*10^{6}$ !) пъти по-голяма. Това е значително по-голяма енергия от целия ядрен арсенал на нашата цивилизация. Енергията на астероидът, който е предизвикал 5-тото масово измиране е била около 40 пъти по-висока. Това е защото астероидът предизвикал това явление е бил значително по-голям и е имал много по-висока плътност. (3т.)

Оригинал в Архива: 22-III-910-teor.pdf · официални решения: a22-III-910-teor.pdf