Съдържание

НОА 2022, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Оптично-двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXV Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 13 юли 2022 г., Варна, теоретичен тур — Младша възраст · 13 юли 2022 г. · 15 т.

Условие

С 5-метровия телескоп в обсерваторията край пиринското езеро Попова капа астрофизикът Петър Попов изследва двойна звезда. Нейните компоненти са физически свързани и са на ъглово отстояние 1.2″ една от друга. Те имат видими звездни величини $7^{m}.25$ и $7^{m}.75$ . Температурата и на двете компоненти е 7050 K. Паралаксът на системата е 0.0138″.

А) Какъв е спектралният клас на двете звезди? (1т.)

Б) Изчислете радиусите на двете звезди. (4т.)

В) Оценете максимално точно масите на двете звезди. (3т.)

Г) Орбитите на звездите около общия център на масите са кръгови, с наклон спрямо небесната равнина 53°. В момента ъгловото отстояние между тях е максимално. Какво ще е минималното ъглово отстояние? След колко години ще се наблюдава то? (4т.)

Д) От Земята системата не се наблюдава като затъмнително-двойна. Това не се харесва на астронома и мисълта му почва да се рее из близките части на Галактиката. Ако се озовем на произволна планета там, каква е вероятността звездата да се наблюдава като затъмнително-двойна? (3т.)

Абсолютна звездна величина на Слънцето: +4.75 $^{m}$

Фотосферна температура на Слънцето: 5770 K

Болометричната корекция и праховото поглъщане да се пренебрегнат.

Отговори

Решение

Решение:

А) Звезда с фотосферна температура 7050 K е от спектрален клас F (за главната последователност – F2). (1т.)

Б) Разстоянието до системата в парсеци е:

r = \frac{1}{p''} = 72.46\ \mathrm{pc}

Модулът на разстоянието е

m - M = 5\lg(r[\mathrm{pc}]) - 5 = 4.30\ \mathrm{mag}

Това дава за двете звезди абсолютни звездни величини 3.45 и 2.95 mag. Намираме светимостите им от

\frac{L}{L_{\odot}} = 10^{0.4(4.75 - M)}

Получаваме светимости $5.25L_{\odot}$ и $3.31L_{\odot}$ . От закона на Стефан-Болцман получаваме радиусите:

\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^2 \left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^4

Получаваме $1.53R_{\odot}$ и $1.22R_{\odot}$ . (4т.)

В) Двете звезди са родени заедно, тъй като са в двойна система. Щом са с еднакви температури, но различни светимости, би трябвало по-маломасивната да е на Главната последователност, а по-масивната да е започнала скоро да еволюира към гигант. Двете звезди са на голямо физическо разстояние една от друга, поради което за тях важат правилата за еволюция на единична звезда, т.е. няма как да е имало обмен на материя между тях и сценарий, подобен на парадокса на Алгол.

За вторичната компонента (светимост $L_2 = 3.31L_{\odot}$ ) ще приложим зависимостта за Главната последователност

\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{3.5}

Получаваме маса $M_2 = 1.41M_{\odot}$ , което е много точна оценка поради близостта на звездата до клас G2.

По-неточна ще е оценката за главната компонента. Еволюционният трек при маси, близки до слънчевата се движи нагоре и надясно, т.е. на Главната последователност тя е имала по-ниска светимост от $5.25L_{\odot}$ . По горната формула на тази светимост съответства маса $1.61M_{\odot}$ , което се явява горна граница. Заради посоката на еволюционният трек оценяваме, че масата е $M_1 \approx 1.5M_{\odot}$ – под горната граница, но над $M_2$ . (3т.)

Г) Кръговата орбита се проектира по елипса с голяма ос δ = 1.2″ и малка ос 1.2″cos(53°) = 0.72″ (начертайте си го). Малката ос ще бъде минималното ъглово отстояние. То ще бъде достигнато след 1/4 от орбиталния период.

Разделението на компонентите е $a = \delta r$ = 86.95 AU. Това е и радиусът на относителната орбита на едната звезда спрямо другата. Орбиталния период намираме от III Закон на Кеплер:

\frac{a^3}{P^2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2}

Получаваме орбитален период P = 476 yr. Двете звезди ще се доближат максимално по небето след време P/4 = 119 yr. (4т.)

Д) Затъмнения се наблюдават от сивите конусовидни зони. Те се въртят, поради което системата може да бъде наблюдавана като затъмнителна от радиално симетрична зона.

Чертеж на двойна звезда: два кръга с различен размер (по-големият вляво, по-малкият вдясно) и общите допирателни към тях, които се пресичат между звездите; зоните зад звездите, от които се наблюдават затъмнения, са оцветени в сиво като два конуса, а малкият ъгъл между допирателните при пресечната точка е означен с X.

Ъгълът X е малък и го намираме от:

X[\mathrm{rad}] = 2(R_1 + R_2)/\mathrm{a}

Гледано от системата, тази зона се проектира по небето като лента около голям кръг с дебелина X градуса. Ако построим голяма сфера с радиус Ъ около пресечната точка на чертежа, сивата зона по сферата е лента с площ

S = 2\pi \text{Ъ}^2 X[\mathrm{rad}] = 4\pi \text{Ъ}^2 (R_1 + R_2)/\mathrm{a}

Тъй като цялата сфера е с площ 4πЪ $^2$ , лентата е (R $_1$ +R $_2$ )/a като част от нея, така че и вероятността произволна планета да попада в тази лента и да е в полусянката е

\frac{R_1 + R_2}{\mathrm{a}} = 0.0147\%

Резултатът демонстрира, защо почти всички затъмнително-двойни са много тесни системи. (3т.)

Оригинал в Архива: 22-IV-teorML.pdf · официални решения: a22-IV-teorML-1.docx