Съдържание

НОА 2022, IV кръг, Младша възраст — Задача 3. Планетна система.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXV Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 13 юли 2022 г., Варна, теоретичен тур — Младша възраст · 13 юли 2022 г. · 15 т.

Условие

Около оранжевото джудже TOI-178 са открити шест планети. В таблицата са дадена някои данни за първите четири от тях.

Планета	Голяма полуос на орбитата, au	Орбитален период, дни	Радиус, земни радиуси
TOI-178 b	0.02607	1.914558	1.152
TOI-178 c	0.0370	3.238450	1.669
TOI-178 d	0.0592	6.557700	2.572
TOI-178 е	0.0783	9.961881	2.207

Нека приемем, че планетите се движат по кръгови орбити, лежащи в една равнина. Извънземна цивилизация е изпратила два екипа от космонавти изследователи. Поради голямата си близост до звездата планетите са приливно заключени. Космическите екипи са установили своите бази в центровете на тъмните страни на две планети – TOI-178c и d.

А) На какво минимално разстояние по повърхността на планетата TOI-178c трябва да се отдалечи от своята база един космонавт, така че в някакви моменти от време да вижда над хоризонта поне част от планетата b? [5 т.]

Б) Космонавтите на планетата TOI-178c наблюдават планетата TOI-178d в опозиция, а едновременно с това и централно покритие от същата планета на звезда, която на своя странен език те наричат Е-мо-на. При следващата опозиция на планетата TOI-178d се наблюдава централно покритие на звездата Е-ле-на. Определете ъгловото разстояние между звездите Е-мо-на и Е-ле-на. [5 т.]

В) Другият екип космонавти, намиращ на планетата TOI-178d, наблюдава планетата TOI-178e в опозиция. Наблюденията се провеждат с телескоп и филтър с любимия на извънземните същества син цвят. Определете с колко процента намалява за тях видимият блясък на планетата TOI-178e поради това, че част от светлината на звездата, която я осветява, се закрива от тяхната планета TOI-178d. Радиусът на звездата е 0.651 слънчеви радиуса. [5 т.]

Справочни данни:

Радиус на Земята – 6371 km

Радиус на Слънцето – 696 000 km

Астрономическа единица – 1 au =149.6 × 10 $^6$ km

Отговори

Решение

Решение:

А) Означаваме с X местонахождението на космическата база на планетата TOI-178c и с Y – точката, до която трябва да се отдалечи космонавтът на минималното необходимо разстояние, за да вижда планетата TOI-178b. Понеже половината от планетата TOI-178b е неосветена от звездата и няма как космонавтът да я вижда, то граничният случай ще бъде, когато центърът на видимия диск на планетата се намира на хоризонта. Този случай е изобразен на схемата. Означаваме с $r_b$ и $r_c$ радиусите на орбитите на планетите TOI-178b и TOI-178c, а с $R_c$ радиуса на планетата TOI-178c. Трябва да намерим дължината на дъгата XY. Лесно се вижда, че ъгълът, на който съответства тази дъга от повърхността на планетата, е равен на ъгъла $\alpha$ , обозначен на схемата.

\cos\alpha = \frac{r_b - R_c}{r_c}

Схема: две концентрични окръжности (орбитите на планетите) около звезда, означена „Звезда“; на вътрешната орбита е планетата TOI-178 b, на външната — TOI-178 c с малка окръжност (планетата) и точки X и Y на повърхността ѝ; отсечките от звездата са означени r_b - R_c и r_c, ъгълът при звездата е α, а от планетата c са прекарани лъчи към TOI-178 b.

По-нататък получаваме:

\alpha \approx 45^{\circ}.36

Минималното разстояние, на което трябва да се отдалечи космонавтът, за да вижда центъра на видимия диск на планетата TOI-178b на хоризонта, ще бъде:

AB = R_c \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} \approx 8418\ \mathrm{km}

Б) Намираме синодичния период Tcd на планетата TOI-178d за наблюдател на планетата TOI-178c:

\frac{1}{T_{cd}} = \frac{1}{T_c} - \frac{1}{T_d}

T_{cd} = \frac{T_c T_d}{T_d - T_c} \approx 6.3981\ \text{денонощия}

Още от самото начало забелязваме, че сидеричните период на тези две планети се отнасят с доста добра точност както 1:2 (резонансно съотношение). По тази причина полученият синодичен период е много близък до сидеричния период на планетата TOI-178d. Пресмятаме разликата между тези два периода:

\Delta T = T_d - T_{cd} \approx 0.1596\ \text{денонощия}

Това означава, че ако в даден момент планетата TOI-178d е в противостояние, то следващото противостояние ще се случи малко преди тя да направи пълна обиколка около централната звезда. Изчисляваме ъгъла, който остава да измине по орбитата си планетата TOI-178d до завършване на пълната си обиколка:

\varphi = \frac{T_{cd}}{T_d} \cdot 360^{\circ} \approx 8^{\circ}.76

Това ще бъде и ъгловото разстояние между звездите Е-мо-на и Е-ле-на.

В) Пресмятаме видимия ъглов диаметър δ $_0$ на централната звездата и видимия ъглов диаметър δ $_0$ на планетата TOI-178d за наблюдател от планетата TOI-178e:

\rho_0 = \frac{2R_0}{r_e}

\rho_d = \frac{2R_d}{r_e - r_d}

където R $_0$ и R $_d$ са съответно радиусите на звездата и на планетата TOI-178e, а rd и re са радиусите на орбитите на планетите TOI-178d и TOI-178e. Намираме площите на видимите дискове на централната звезда и на планетата TOI-178d за наблюдател от планетата TOI-178e:

S_0 = \pi {\rho_0}^2

S_d = \pi {\rho_d}^2

Планетата TOI-178e свети с отразена светлина от централната звезда. При голямата близост до звездата, осветената страна на тази планета е силно нагрята и освен че отразява част от светлината, тя също има и собствено излъчване главно в дълговълновата част от спектъра. Но тъй като наблюденията са направен със син филтър, ние ще пренебрегнем това и ще считаме, че планетата свети изцяло с отразена от звездата светлина.

Планетата TOI-178d закрива част от светлината на звездата, идваща към планетата TOI-178e в случая, когато тя е в опозиция. Намираме отношението закриваната част от звездната светлина към цялата светлина от звездата, попадаща върху TOI-178e в случай, че тя не е в опозиция относно планетата TOI-178d:

k = \frac{S_d}{S_0} \approx 0.008 = 0.8\%

Намалението на видимия блясък на планетата TOI-178e е около 0.8%.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За правилен математически метод – 4 т.

За верен краен отговор – 1 т.

Б) За правилен метод на решаване на проблема – 2 т.

За алгебрични пресмятания – 2 т.

За верен краен резултат – 1 т.

В) За правилна представа и идея за решаване – 2 т.

За алгебрични пресмятания – 2 т.

За верен краен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: 22-IV-teorML.pdf · официални решения: a22-IV-teorML-1.docx