НОА 2022, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Минтака на лунния лимб
XXV Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 13 юли 2022 г., Варна, теоретичен тур — Младша възраст · 13 юли 2022 г. · 15 т.
Условие
Звездата Минтака има екваториални координати α = 05 32 00, δ = – 0°17′ 56″. В даден момент четирима наблюдатели, намиращи се в положения 1, 2, 3 и 4 по земната повърхност, виждат едновременно Минтака, точно на лунния лимб (видимия ръб на лунния диск по небето).
За наблюдател 1 (географска дължина 100° 00′ E) Минтака е в зенит и докосва най-южната точка на лунния диск.
За наблюдател 2 Минтака докосва най-северната точка на лунния диск.
За наблюдател 3 Минтака докосва най-източната точка на лунния диск.
За наблюдател 4 Минтака докосва най-западната точка на лунния диск.
А) Изчислете географските координати на наблюдател 2. (4т.)
Б) Изчислете максимално точно географските координати на наблюдатели 3 и 4. (4т.)
В) В същия момент за наблюдател 1 дадена звезда X (деклинация δ = +00°15′ 15″.) докосва северния край на лунния диск, а за наблюдател 2 друга звезда Y докосва южния край на лунния диск. Определете екваториалните координати на звездата Y. (4т.)
Г) Ако Луната е в първа четвърт, изчислете датата и приблизителния час за наблюдател 1 в този момент. (3т.)
Приемете, че Земята и Луната имат съвършена кълбовидна форма и радиуси 6370 km и 1738 km.
Отговори
- А) φ₂ = +32°46′ 21″N, λ₂ = 100° 00′ E
- Б) φ₃₄ ≈ +15°35′; λ₃ = 116°28′ E, λ₄ = 83°32′ E
- В) δ = -00°51′ 01″ (ректасцензията е като на Минтака)
- Г) около 13-14 март, около 18h
Решение
Решение:
А) За удобство първо ще решим за случая с деклинация 0 и после ще отместим резултатите, отчитайки разстоянието от Минтака до небесния екватор от 17′ 56″.
На първата фигура гледаме Земя-Луна перпендикулярно, от равнината на земния екватор. Лъчите от Минтака са успоредни и проектират сянка на Луната от Минтака върху Земята (радиус R). Точка 2 ще се проектира 1 лунен диаметър (D = 3476 km) над екватора. Географската ширина намираме от
Получаваме φ = +33°04′ 17″N. За да приложим разликата, отместваме със 17′ 56″ на юг и получаваме φ = +32°46′ 21″N. (4т.)
Б) По същия начин от А), но използвайки радиуса на Луната (вместо диаметъра) намираме ширината на точки 3 и 4. Получаваме φ = +15°50′ 00″N. След това използваме втория чертеж, за да определим разликата Δλ на географската дължина спрямо 100-тния меридиан. На чертежа виждаме разреза на паралела с ширина φ. Той има радиус Rcos(φ). Разликата Δλ намираме от:
Получаваме Δλ = 16°28′, откъдето λ = 116°28′ E, λ = 83°32′ E. Тези стойности са почти неотместени при корекцията с 18′, а стойността за географската ширина можем да коригираме пропорционално, с около 15′, т.е. е приблизително φ = +15°35′ (4т.)
В) Минтака и звездата X са едновременно в срещуположни краища на лунния диск за положение 1, така че ъгловото разстояние между двете дава видимия ъглов размер на Луната θ. Двете звезди са ориентирани север-юг по небето, така че са с еднакви ректасцензии. От разликата в деклинациите им намираме θ = 33′ 11″= 0.0096526 rad. Оттук намираме разстоянието до Луната:
Това е разстоянието от екватора (наблюдател 1) до центъра на Луната. Наблюдател 2 е по-далече. Разликата в разстоянията е
Гледано от положение 2, от разстояние 361 130 km, Луната ще има ъглов размер 33′ 05″ и деклинацията на звездата Y ще е -00°17′ 56″- 33′ 05″ = -00°51′ 01″ (4т.)
Г) Ако Луната е в първа четвърт, Слънцето е 90 градуса на запад, на ректасцензия около 23h 32m. Слънцето изминава 1h средно за 2 седмици, така че би трябвало да е около 1 седмица преди пролетното равноденствие (около 13-14 март).
За наблюдател 1 Луната е в зенит и Слънцето е около 6h след горна кулминация, т.е. е около 18h. (3т.)
Оригинал в Архива: 22-IV-teorML.pdf · официални решения: a22-IV-teorML-1.docx