Съдържание

НОА 2022, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Астероидът 6969 Сантаро – II част

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2022

XXIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. IV кръг, 22 юли 2021 г., Варна, теоретичен тур. Старша възраст · 15 т.

Условие

С астероида 6969 Сантаро се запознахме по време на областния кръг на олимпиадата. Тогава научихме, че той е член на Главния астероиден пояс, разположен между орбитите на Марс и Юпитер и се движи по кръгова орбита с радиус 2.2 au. Установихме, че неговият радиус е около 4 km.

Нека си представим, че в някакъв момент 6969 Сантаро е в опозиция, спрямо Земята. Точно в този момент, той закрива централно звездата Регул.

А) Колко време ще продължи покритието на Регул? [4 т.]

Б) Каква ще е звездната величина на звездата в средата на окултацията? Изобразете схематично, но с максималното възможно количество детайли, кривата на блясъка на звездата по време на окултацията. [3 т.]

В) Решете горните две подусловия в случай, в който закриваната звезда е Антарес. [5 т.]

Явлението се наблюдава от група софийски любители астрономи в Лозенската планина, с телескоп-рефлектор, с фокусно разстояние на обектива 4 m. Във фокалната равнина на този телескоп е монтирана CCD камера с размер на пиксела 9 μm.

Г) Колко време преди началото на преминаването на астероида пред диска на Регул, разстоянието между образите на двата обекта върху матрицата ще бъде по-малко от един пиксел? [3 т.]

Не отчитайте явлението дифракция на светлината.

Справочни данни:

Разстояние до Регул – 24.3 pc
Разстояние до Антарес – 170 pc
Радиус на Регул – 4.4 слънчеви радиуса
Радиус на Антарес – 680 слънчеви радиуса
Радиус на Слънцето – 700 000 km.

Отговори

Решение

Решение:

В задачата се появяват два случая, защото се оказва, че Антарес има по-голям видим ъглов диаметър от астероида, а Регул по-малък.

Това разбира се, не е така очевидно на пръв поглед, но може лесно да се докато количествено.

Нека D да е диаметърът на астероида, $r_\text{з}$ да е орбиталният радиус на Земята, а r – радиуса на орбитата на Сантаро.

От това следва, че видимият му ъглов размер по време на противостоене е:

\delta = \frac{D}{a_S - a_E} \approx 9{,}1.10^{-3}{}''

Видимите ъглови диаметри на Регул и Антарес са съответно:

\delta_A = \frac{D_A}{d_A} \approx 3{,}7.10^{-2}{}''

\delta_R = \frac{D_R}{d_R} \approx 1{,}7.10^{-3}{}''

Ясно се вижда, че Сантаро изглежда видимо по-голям от Регул и по-малък от Антарес (именно за това авторът е подбрал тези две задачи, за да се получат два различни случая).

А) Нека да намерим ъгловата скорост $\omega$ на астероида, за наблюдател, който е на Земята.

Орбиталната скорост на Земята е:

V_E = \sqrt{\frac{\gamma M}{a_E}} \approx 29.87\ \mathrm{km/s}

а тази на Сантаро е:

V_S = \sqrt{\frac{\gamma M}{a_S}} \approx 20.14\ \mathrm{km/s}

Оттук следва, че:

\omega = \frac{V_E - V_S}{a_S - a_E} \approx 0.268^{\circ}/\mathrm{d}

За времето на окултацията (от I до IV контакт), Сантаро трябва да измине сумата от ъгловите размери на самия себе си и на звездата.

Следователно, продължителността на явлението е:

t_R = \frac{\delta_R + \delta_S}{\omega} \approx 0.97\,\mathrm{s}

Можем да намерим и времето, за което звездата е изцяло закрита:

t'_R = \frac{\delta_S - \delta_R}{\omega} \approx 0.67\,\mathrm{s}

Б) Понеже Регул има значително по-малък видим ъглов размер от астероида, то тя ще бъде изцяло закрита и няма да се вижда в средата на окултацията.

Кривата на блясъка ѝ е показана на фигурата:

Ръчно начертана крива на блясъка при окултацията на Регул: по вертикалната ос е означено I, по хоризонталната – t. Блясъкът е постоянен, спада линейно до нула, остава нула и се връща линейно до първоначалната стойност; горе стрелка t_R обхваща целия интервал, долу стрелка t'_R – интервала на пълно закриване; пунктирани вертикални линии отбелязват контактите.

В) Ако звездата, която е зад астероида е Антарес, то тя няма да бъде закрита напълно.

Окултацията (от I до IV контакт), ще има продължителност:

t_A = \frac{\delta_A + \delta_S}{\omega} \approx 4.17\,\mathrm{s}

Интервалът от време, за който Сантаро попада изцяло в рамките на диска на звездата е:

t'_A = \frac{\delta_A - \delta_S}{\omega} \approx 2.53\,\mathrm{s}

По време на втория интервал от време, звездата ще бъде толкова пъти по-слаба от, колкото пъти намалява нейната видима ъглова площ.

Съгласно закона на Погсън, промяната в нейната звездна величина ще е:

\Delta m = 2.5\lg\frac{\delta_A^2}{\delta_A^2 - \delta_S^2} \approx 0.068^m

Съответната крива на блясъка е:

Ръчно начертана крива на блясъка при окултацията на Антарес: по вертикалната ос е означено m (нараства надолу), по хоризонталната – t. Блясъкът спада линейно до плато, по-високо от нулата, и се връща; стрелка Δm показва понижаването, горе стрелка t_A обхваща цялата окултация, долу стрелка t'_A – платото; пунктирани линии отбелязват контактите.

Г) Нека първо да намерим мащаба на изображението върху матрицата на CCD камерата.

Ако размерът на пиксела е x, a фокусното разстояние е F, то на един пиксел съответства ъгъл от небето:

\theta = \frac{x}{F} \approx 0.46''.

Оттук следва, че интервалът от време, през който разстоянието между изображенията на Сантаро и Регул е по-малко от един пиксел е:

t = \frac{\theta}{\omega} \approx 41.6\,\mathrm{s}

Критерии за оценяване:

А) – 4т.

За правилен метод за намиране на видимата ъглова скорост на астероида и вярна числена стойност – 2т.
За правилен израз за времената между отделните контакти и верни стойности – 2т.

Б) – 3т.

За съобразяване на това, че в средата на окултацията звездата ще е напълно закрита – 1т.
За подробна крива на блясъка (допуска се и да е в относителни единици) – 2т.

В) – 5т.

За правилен израз за времената между отделните контакти и верни стойности – 1т.
За съобразяване на това, че звездата няма да бъде напълно закрита и правилно намиране на понижаването в нейната звездна величина – 3т .
За подробна крива на блясъка. – 2т.

Г) – 3т.

За правилно намиране на мащаба на изображението – 2т.
За намиране на интервала от време в който звездата и астероида ще са в рамките на един пиксел – 1т.

Оригинал в Архива: 22-IV-teorSt.pdf · официални решения: a22-IV-teorSt.docx