НОА 2022, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Планетарни мъглявини в кълбовидни купове.

• А) 0.5

• В) $3 \times 10^{-18}$ kg/m³

• Г) 160

  В решението: 160 звезди (или около 200).

Решение:

А) Можем да направим най-груба оценка по следния начин: Средната светимост на кълбовиден куп намираме от

Ако средностатистическата звезда в кълбовиден куп има светимост 0.5 $L_\odot$, то в кълбовиден куп очакваме средно 210 000 звезди. Общият брой звезди в наблюдаваните кълбовидни купове ще бъде $N_{GC}$ = 160 × 210 000 = 33.6×10$^6$. Общият брой звезди в Галактиката $N_{GAL}$ се оценява на между 100 и 400 милиарда. Нека приемем за оценката ни стойност $N_{GAL}$ = 200×10$^9$. Ако приемем, че планетарните мъглявини са разпределени в кълбовидните купове и в Галактиката пропорционално на звездите, то търсеният брой е

(3т.)

Б) Приближенията ни в подусловие А) са некоректни и подценяват реалния брой наблюдавани планетарни мъглявини в кълбовидни купове. Основните причини са:

• Множеството планетарни мъглявини са в галактичния диск и светлината от тях претърпява силно прахово поглъщане. Наблюдаваме 3000, но броят им вероятно е около 20 000.
• Кълбовидните купове в Галактиката са на възраст 9-14 Gyr и съдържат само стари звезди, докато в цялата галактика има и млади, и стари звезди. За произволна звезда в интервала 0.8 – 8$M_\odot$ в кълбовиден куп е много по-вероятно да е в крайния стадий на еволюцията си, отколкото за произволна звездна със същата маса в Галактиката (където звездите са на възраст 0-14 Gyr).

Има и други ефекти, които оказват различни влияния: кълбовидните купове са сравнително далече и обектите в тях са по-слаби, заради гъстотата на звездите газът може да се разширява с различен темп и т.н.

(4т.)

В) Ако в момента наблюдаваме планетарна мъглявина в кълбовиден куп, то звездата, която я е образувала умира сега, т.е. има време на живот, колкото купа. Времето за престой на Главната последователност е 10 Gyr за звезда с маса 1$M_\odot$ и около 12-13 Gyr за звезда с маса 0.9$M_\odot$. Еволюцията от Главна последователност до планетарна мъглявина отнема време от порядъка на 1 Gyr, така че можем да предположим, че масата на звездата е била около 0.95$M_\odot$. Приемайки, че около 10% от нея е в обвивката на планетарната мъглявина, там имаме маса $M_{PN}$ = 0.095$M_\odot$.

Радиусът $R_{PN}$ на планетарната мъглявина намираме от разстоянието $r$ и ъгловия размер $\delta_{PN}$:

Получаваме радиус 16410 au = 0.08 pc. Средната плътност намираме от

Получаваме плътност 3×10$^{-18}$ kg/m$^3$.

(4т.)

Г) Лунният диск има ъглов размер около 0.5°. Диск по небето с площ 100 лунни диска ще има 10 пъти по-голям ъглов размер, т.е. около 5°, т.е. 6000 пъти по-голям от ъгловия размер на K648, гледана от Земята (3″). За да има K648 такъв огромен ъглов размер по небето, наблюдателят трябва да се намира 6000 пъти по-близо до нея, т.е. на разстояние 10940/6000 = 1.82 pc.

Можем да получим абсолютната звездна величина на M15 от видимата ($m$ = 6.2) и разстоянието $r$ = 10940 pc:

Получаваме $M$ = -8.99. Светимостта намираме от

При приближението за средно 0.5 слънчеви светимости / звезда получаваме $N_{15}$ = 620 000 брой звезди в купа. Радиусът на M15 намираме от

Средната концентрация (гъстота) на звездите е

По същата формула получаваме, че в сфера с радиус 1.82 pc от купа очакваме да има 160 звезди (или около 200).

(4т.)